Алгебра и начала анализа

Планируемые курсы:

• Исследование функций с помощью производной

Действительные (вещественные) числа

Целые и рациональные числа

целые числа:0, ±1, ±2, ±3...

рациональные числа т.е числа вида m/n

Уравнения с одним неизвестным

Основная теорема алгебры

Уравнение N-го порядка имеет, по меньшей мере, один корень в поле комплексных чисел. Следствием из данной теоремы является утверждение о том, что уравнение N-го порядка имеет ровно N корней с учётом их кратности.

Линейные уравнения

$ax+b=0,\quad a\neq 0$

Имеют единственный корень $x=-b/a$

Квадратные уравнения

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.$

Корни определяются формулой при $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Корни определяются формулой при $D=0$ $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$

Корни определяются формулой при $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}.$

Есть ещё один способ рещения квадратных уравнений при $a=1$. Для этого используется теорема Виета.

$x^{2}+px+q=0$

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}$

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1)если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2)если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

Часные случаи:

1.$ax^{2}+bx+c=0,c=0.$

$x(ax+b)=0$

$x=0$ или $ax+b=0$

2.$ax^{2}+bx+c=0,b=0.$

$ax^{2}=-c$

$x_{1,2}=\pm {\sqrt {-c/a}}$

3.$ax^{2}+bx+c=0,b=0,c=0.$

$ax^{2}=0$

$x^{2}=0$

$x=0$

Биквадратные уравнения

$ax^{4}+bx^{2}+c=0,\quad a\neq 0.$

Подстановкой $y=x^{2}$ сводятся к квадратному уравнению

$ay^{2}+by+c=0.$

Кубические уравнения

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.$ При вещественных коэффициентах a, b, c, d имеют хотя бы один вещественный корень. Для нахождения точных значений корней в радикалах может быть использована формула Кардано. Однако вычисления по этому методу довольно громоздки.

Если уравнение имеет рациональный корень $x_{1}$, можно подобрать его и далее, разделив левую часть исходного уравнения на двучлен $x-x_{1}$, свести уравнение к квадратному.

Уравнения высших степеней

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0,\quad a_{n}\neq 0.$

Уравнения 5-го порядка и выше в общем случае неразрешимы в радикалах. Если коэффициенты уравнения целочисленны, то можно попытаться подобрать рациональный корень и понизить степень уравнения. В частности, целые корни, если они есть, являются делителями свободного члена.