Алгебра (8 класс)/Функции y = x^n и её графики

Определение:

Функцию, заданную формулой $y=x^{n}$, называют степенной функцией с натуральным показателем, где x - независимая переменная, а n - натуральное число.

Например:

$y=x$

$y=x^{2}$

$y=x^{3}$

Существуют два случая степенной функции: с чётным показателем и с нечётным показателем.

Определение:

Областью определения любой степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.

Рассмотрим случай, когда n - чётное число. График выглядит так:

Опишем свойства этой функции:

1. Если x=0, то y=0.

2. Если x≠0, то y>0, т.к. чётная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

4. Функция возрастает на промежутке: $(0,\infty )$

и убывает на промежутке: $(-\infty ,0)$

5. При любых значения аргумента функция принимает неотрицательные значения. Областью значений является:

$Y=(0,+\infty )$

Рассмотрим случай, когда n - нечётное число (n>1).

График выглядит так:

Опишем свойства этой функции:

1. Если x=0, то y=0. Ноль в любой степени равен нулю.

Если x>0, то y>0.

Если x<0, то y<0.

2. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

4. Функция возрастает на всей области определения, принимая любые значения.

5. Областью значений является: $Y=(-\infty ,+\infty )$