Алгебра (8 класс)/Целые рациональные уравнения

Целым рациональным уравнением с одним неизвестным будем называть уравнение, представляющее собой равенство целых алгебраических выражений (которое сводится к многочлену)

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0,$, где $n\in \mathbb {N}$

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена $P(x)$

Значения переменной $x$, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество называются корнями этого алгебраического уравнения.

Всякий отличный от константы многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами может быть разложен в произведение

— своего старшего коэффициента $a_{n}$;

— нескольких линейных двучленов вида $(x-c_{k})$ где $c_{k}$ — вещественные корни $P(x)$, если они существуют;

— нескольких квадратных трёхчленов,

Это разложение однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Пример 1:

$x^{3}-3x^{2}+5x-15=0$

Решение уравнений обычно сводится к тождественным преобразованиям, при которых данное уравнение заменяют другим, равносильным ему уравнением, но более простым. Свести уравнение к более простым уравнениям можно, если представить его в виде произведения, равного нулю.

$x^{3}-3x^{2}+5x-15=(x-3)x^{2}+5\cdot (x-3)=(x-3)(x^{2}+5)$

Полученное уравнение также заменяем другим и так действуем до тех пор, пока не получим уравнение, которое умеем решать. При этом мы будем использовать свойства равенств и тождественные преобразования.

Уравнение $(x-3)(x^{2}+5)=0$ имеет только один действительный корень $x_{1}=3$.

Пример 2:

$x^{4}-8x^{3}+17x^{2}-10x=(x^{2}-5x)(x^{2}-3x+2)=x(x-5)(x-1)(x-2)=0$

$x_{1}=0$ , $x_{2}=5$ , $x_{3}=1$ , $x_{4}=2$.