Алгебра (9 класс)/Квадратичная функция/Функция. Область определения и область значений функции

Теория

Функция

Функция —- зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом. Переменную y зависимой переменной, а также значениями функции. Записывают функцию так: $y=f(x)$ («игрек равно эф от икс»). Символом $f(x)$ также обозначают значение функции с аргументом x. f называют правило, по которому y зависит от x. Вместо f используют и другие буквы: g, φ и т.п.

Пример 1

Медицинский термометр

Когда вы измеряете температуру (своего тела), высота, на которую поднимется ртуть в градуснике, будет зависеть от температуры вашего тела. Например, если x —- температура вашего тела в градусах Цельсия, а y —- высота, на которую поднимется ртуть в миллиметрах, то записать зависимость x от y можно так: $y=f(x)$. Если 0.1°C соответствует 1 мм, то $f(x)=10(x-35)$ (т.е. $y=10(x-35)$). Догадайтесь, почему надо вычитать 35?

Давайте найдём на какую высоту поднимется ртуть при температуре тела 36,6°C:
$f(36{,}6)=10(36{,}6-35)=16$ (мм)

Пример 2

Зависимость длины рельсы от температуры.

Пример 3

Решим задачу:
Функция задана формулой: $f(x)=2x+1$. Найдите: $f(1)$; $f(2)$; $f(3)$; $f(7{,}1)$;
Решение:
$f(1)=2\cdot 1+1=3$
$f(2)=2\cdot 2+1=5$
$f(3)=2\cdot 3+1=7$
$f(7{,}1)=2\cdot 7{,}1+1=15{,}2$
Ответ: $f(1)=3$; $f(2)1=5$; $f(3)=7$; $f(7{,}1)=15{,}2$.

Область определения и область значений функции

Область определения —- множество всех значений аргумента (переменной x). Область значений —- множество всех значений функции (переменной y).

Функция $y=f(x)$ является заданной, если указана область определения и правило, по которому можно определить значение функции по заданному значению аргумента x. Если область определения не задана, то считают, что областью определения являются все значения аргумента, при котором $f(x)$ имеет смысл.

Пример 1

Пример с тем же градусником. Областью определения функции $y=10(x-35)$ будет шкала градусника. Например, от 35°C до 42°C (т.е. закрытый интервал $[35;42]$). Область значений будет высота от 0 мм до 70 мм (т.е. [0;70]). Наша функция является заданной.

Пример 2

Решим задачу:
$g(x)={\sqrt {x+7}}$. Определите область определения функции.
Решение:
Областью определения функции являются все допустимые выражения $g(x)$. То есть область определения будут все значения x, при которых подкоренное выражение будет больше или равно нулю:
$x+7\geqslant 0$
$x\geqslant -7$
Ответ: $x\geqslant -7$ или $x\in [-7;+{\mathcal {1}})$.

График функции

График функции - множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

С графиками некоторых функций вы уже знакомились в предыдущих классах.

Пример 1. График линейной функции

k и b —— некоторые числа, причём $k>0$.

Областью определения функции является множество всех чисел. Областью значений при $k\neq 0$ является множество всех чисел, а при $k=0$ — одно число b. Графиком линейной функции является прямая.

Пример 2. График обратной пропорциональности

k - некоторое число, причём $k>0$

Областью определения функции является множество всех чисел кроме нуля. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.