Вещественные (действительные) числа/Теорема Коши-Кантора о стягивающихся отрезках

Определение. Последовательность вложенных отрезков $[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],...,[x_{n},y_{n}]$ называется последовательностью стягивающихся отрезков, если $\forall \varepsilon >0\exists N$ $\in \mathbb {N}$ : $\forall n>N$ $\mid y_{n}-x_{n}\mid <\varepsilon$.

Теорема.

Если $[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],...,[x_{n},y_{n}]$ - последовательность стягивающихся отрезков, то $\exists$! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

$\{{x_{n}\}}_{n=1}^{\infty }$, $\{{y_{n}\}}_{n=1}^{\infty }$.

Множество $\{{x_{n}\}}_{n=1}^{\infty }$ ограничено сверху $\forall y_{n}\Rightarrow \exists \sup x_{n}=\alpha ;x_{n}\leq \alpha ,x_{n}\leq y_{k}\forall n,k.$

Множество $\{{y_{n}\}}_{n=1}^{\infty }$ ограничено снизу $\forall x_{n}\Rightarrow \exists \inf y_{n}=\beta ;y_{n}\geq \beta ,y_{n}\geq x_{k}\forall n,k.$

$\alpha ,\beta \in [x_{n},y_{n}]$, $\forall n$; $x_{n}\leq \alpha \leq y_{n}$; $x_{n}\leq \beta \leq y_{n}$.

Покажем, что $\alpha \leq \beta$.

Предположим, что $\alpha \geq \beta$. Тогда $\exists x_{n},y_{n}:x_{n}>y_{n},$ чего быть не может.

Предположим, что $\alpha \leq \beta$. Тогда $\beta -\alpha =0$. Положим $\varepsilon =\beta -\alpha .$

$\forall \varepsilon >0\exists N$ $(\varepsilon ):\forall n>N$ $(\varepsilon )(y_{n}-x_{n})<\varepsilon$.

$\exists n_{0}$: $\varepsilon =\beta -\alpha$ $\leq$ $y_{n}-x_{n}<\varepsilon$. (*)

Значит, $\alpha =\beta .$

Предположим, что $\exists$ другая точка $\gamma$, общая для всех отрезков: 1) $\gamma =\alpha$ ;2) $\gamma >\alpha$ ;3) $\gamma <\alpha$ . Но пункты 2), 3) невозможны, т.к. (*).