Вещественные (действительные) числа/Теорема о существовании точной грани непустого ограниченного числового множества

Определение. Если для подмножества $X\in R$ $\exists$ $b$ : $x\leq$ $b$, то множество $X$ называется ограниченным сверху, а число $b$ - числом, ограничивающим сверху множество $X$.

Множество $x\subset R$ ограниченно сверху $\Leftrightarrow$ $\exists$ $b$ $\in R$ $\forall x$ $\in X$ : $x\leq b$.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Множество $x\subset R$ не ограниченно сверху $\Leftrightarrow \forall b\in R\exists x\in X:x>b$.

Определение. Если для подмножества $X\in R\exists a:x\geq a$, то множество $X$ называется ограниченным снизу, а число $a$ - числом, ограничивающим снизу множество $X$.

Множество $x\subset R$ ограниченно снизу $\Leftrightarrow \exists a\in R\forall x\in X:x\geq a$.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

Множество $x\subset R$ не ограниченно снизу $\Leftrightarrow \forall a\in R\exists x\in X:x<a$.

Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.

Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество $X\subset R$, называется его верхней гранью и обозначается через $\sup x$ или $\sup _{x\in X}{x}$.

$\beta$ - верхняя грань множества $\Leftrightarrow x\in X:x\leq \beta$ и $\forall \varepsilon >0\exists x\in X:x>\beta -\varepsilon$.

Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество $X\subset R$, называется его нижней гранью и обозначается через $\inf x$ или $\inf _{x\in X}{x}$.

$\alpha$ - нижняя грань множества $\Leftrightarrow x\in X:x\geq \alpha$ и $\forall \varepsilon >0\exists x\in X:x<\alpha +\varepsilon$.

Пример. $\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},...,{\frac {1}{n}},...\}=A$, где $1=\sup A;0=\inf A$.

Теорема. $\forall$ ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть $X$ - ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через $Y$ множество всех чисел, ограничивающих сверху множество $X$. Множество $X$ ограничено сверху, поэтому множество $Y$ не пусто. Каждый элемент $y\in Y$ ограничивает сверху множество $X$, т.е. $\forall x\in X:x\leq y$. Элементы $x$ и $y$ являются произвольными элементами соответственно множеств $X$ и $Y$, поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, $\exists \beta :\forall x\in X$ и $y\in Y$ имеет место неравенство $x\leq \beta \leq y$.

Выполнение неравенства $x\leq \beta$ означает, что число $\beta$ ограничивает сверху множество $X$, а выполнение неравенства $\beta \leq y$ для всех $y\in Y$ , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество $X$, означает, что число $\beta$ является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества $X$: $\beta =\sup X$.

$\exists$-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь $Y$ - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству $X$ все числа, ограничивающие снизу множество $Y$.

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, $\exists \alpha :\forall x\in X$ и $y\in Y$ имеет место неравенство $x\leq \alpha \leq y$.

Это означает, что $\alpha =\inf X.$ Теорема доказана.