Струна - это натянутая нить, которая не сопротивляется изгибу.
Рассмотрим малые поперечные колебания струны.
- отклонение струны от положения равновесия в точке
в момент времени
.
Будем считать, что струна бесконечна в силу того, что колебания малые будем пренебрегать слагаемым
,
при колебаниях струна не меняет длину относительно положения равновесия
в силу закона Гука натяжение струны не меняется.
- натяжение струны
Рассмотрим отрезок
Обозначим
- плотность внешних сил, которые действуют на струну в точке
в момент времени
. Силы действуют
оси
Составим уравнение движения в проекции на ось
. Проведем касательную к струне в точке
.
- плотность струны в точке
- масса кусочка струны
II закон Ньютона

В силу малости колебаний

Переписываем уравнение в виде:
![{\displaystyle (1):\rho (x){\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{0}}{\Delta x}}\left[{\frac {\partial U}{\partial x}}(x+\Delta x,t)-{\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\right]+f(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96eac8b446e40c89c6788247b9f45abbf093475)
Переходим к пределу при
- одномерное волновое уравнение

Из физических соображений следует: чтобы однозначно задать колебания струны надо задать начальное отклонение и скорость.


Будем предполагать, что
дважды дифференцируема,
- один раз дифференцируема.
Уравнение имеет гиперболический тип.
Характеристики
,
.
Замена
,
.
Имеем
.
Решение:
.

Остается выбрать функции
и
, чтобы удовлетворять начальному условию (3):

Проинтегрируем 2 уравнение по
:



В итоге имеем решение


Доказана следующая теорема:
Теорема. Решение задачи Коши (2)(3) если
дважды дифференцируема и
один раз дифференцируема
и задается формулой Даламбера.