Перейти к содержанию

Задача Штурма-Лиувилля

Материал из Викиверситета

Пусть , где Пусть -заданная функция.

Задача Штурма-Лиувилля

[править]

Как и ранее, . Если при некоторых значениях параметра эта задача имеет нетривальное решение , то называется собственной функцией, соответствующей собственному значению .

Свойства собственных функций

[править]
  • Собственные числа задачи Штурма-Лиувилля образуют строго возрастающую последовательность , причем , при .
  • Каждому собственному значению соответствует ровно одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция
Доказательство. запишем в виде , где отличается заменой на . Как следует из Леммы (про их линейную зависимость), всякие 2 функции, удовлетворяющие уравнению и уравению (2) линейно зависимы


  • Собственные функции образуют на отрезке [0,l] ортогональную с весом p систему, то есть при
Доказательство. Используя формулу Грина, имеем:

.

Пользуясь тем, что , , имеем при имеем .

Система ортонормирована, то есть удовлетворяет дополнительному условию для всех .


  • Всякая функция , такая, что и удовлетворяет краевым условиям (2) и (3), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

где , если .

Замечание к теореме Стеклова

Для всякой функции ряд (1) сходится в среднем:

Теорема(справочно) Пусть Тогда однородная КЗ для имеет лишь нулевое решение при каждом из следующих 4-х типов граничных условий:

  1. .

Если , то , т.е.

,

Свойство Пусть . Тогда в случае граничных условий из теоремы выше имеем для всех

Доказательство. Умножаем равенство на и проинтегрируем результат по :

Отсюда: