Однородные СЛАУ. Базисные и свободные неизвестные. Условие нетривиальной совместимости.[править]
Однородная СЛАУ:
- базисные неизвестные.
- свободные неизвестные (если
)
Условие нетривиальной совместимости (наличия решений):
- найдутся однозначно.
- можно задать любыми.
только тривиальное решение.
Cвойства решений однородных СЛАУ.[править]
- Если Х - решение матричного уравнения
, то ![{\displaystyle \forall \lambda \in R^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85ae519d7484fcc561fa57ebabf039ee417223c)
снова будет решением.
и
- решения, то
- тоже будет решением.
- Если
- решение системы, то для
чисел
,
- будет решением системы.
Формула общего решения однородных СЛАУ[править]
Определение. Cистема решений СЛАУ
называется фундаментальной системой решений
система
линейно независима.
Теорема. Пусть
;
- ФСР для СЛАУ, тогда
- является общим решением СЛАУ. т.е. :
сумма
- является решением СЛАУ
- решения системы
числа
: ![{\displaystyle X^{*}=\sum \limits _{j=1}^{n-r}C_{j}^{*}X_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e497c61ff053240bf6fd7eef30cc3668cc1fa25c)
Доказательство. Cистему запишем в матричной форме;
поскольку
является решением
Докажем выполнение условия
\\2) пусть
произвольное решение системы.
.
Cоставим матрицу:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}&X_{1}&&X_{r}&X_{r+1}&&X_{n}\\X^{*}&\beta _{1}&\dots &\beta _{r}&\beta _{r+1}&\dots &\beta _{n}\\X_{1}&\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,r}&\alpha _{1,r+1}&\dots &\alpha _{1,n}\\&\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{n-r}&\alpha _{n-r,1}&\dots &\alpha _{n-r,r}&\alpha _{n-r,r+1}&\dots &\alpha _{n-r,n}\\\end{pmatrix}}=D;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7056398ecc2cc196d7a3ef47baf32e1c09d2005a)
покажем единственность.
Формула общего решения неоднородных СЛАУ[править]
Неоднородная СЛАУ:
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,r}x_{r}+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\dots +a_{2,r}x_{r}+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\dots +a_{n,r}x_{r}+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots +a_{n,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcde5ff2d2fd0e6cac891fdb45e70d3c5e92d04)
Теорема.
(общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.)
Доказательство. 1) покажем что
является решением при любых
.
.
2) покажем что для любого решения системы
такие что
. возьмём
удовлетворяет однородной системе и