Комплексный анализ I/Билеты/Интегральная теорема Коши

Определение. Область ${\textstyle E\subset \mathbb {C} }$ называется односвязной, если ${\textstyle \partial E}$ связна.

Теорема. (Коши) ${\textstyle \sqsupset E\subset \mathbb {C} }$ односвязная область, ${\textstyle f\in O(D)}$. Тогда ${\textstyle \forall \Gamma \subset D}$ – замкнутой спрямляемой кривой – ${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=0}$.

Доказательство. Разобьём доказательство на три части:

1) Лемма Гурса. ${\textstyle \int _{\Delta }f(z)dz=0}$, где ${\textstyle \Delta }$ треугольный контур в ${\textstyle D}$.

2) ${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=0}$, где Г произвольная замкнутая ломаная в ${\textstyle D}$

3)${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=0}$, где Г произвольная замкнутая спрямляемая кривая в ${\textstyle D}$

1) Пусть ${\textstyle \left|\int _{\Delta }f(z)dz\right|=M}$.

Разобьём наш контур на 4 части,как показано на рисунке:

Тогда ${\textstyle \int _{\Delta }f(z)dz=\sum _{j=1}^{4}\int _{\Delta _{j}}f(z)dz}$, так как внутренние перемычки в треугольнике проходятся в противоположных направлениях, следовательно, сумма интегралов по ним равна нулю.

${\textstyle \int _{\Delta }f(z)dz=\sum _{j=1}^{4}\int _{\Delta _{j}}f(z)dz\Rightarrow \exists j_{1}:\left|\int _{\Delta _{j_{1}}}f(z)dz\right|\geq {\frac {M}{4}}}$ (иначе ${\textstyle \left|\sum _{j=1}^{4}\int _{\Delta _{j}}f(z)dz\right|<M}$)

Выбираем ${\textstyle \Delta _{j_{1}}}$ и разбиваем его на 4 части точно так же, как ${\textstyle \Delta }$, и выбираем из этого разбиения такой ${\textstyle \Delta _{j_{2}}:}$ ${\textstyle \left|\int _{\Delta _{i2}}f(z)dz\right|\geq {\frac {M}{16}}}$.

Продолжая процесс, получаем ${\textstyle \Delta \supset \Delta _{j_{1}}\supset \Delta _{j_{2}}\supset \cdots \supset \Delta _{j_{n}}\supset \cdots }$.

Пусть ${\textstyle \Delta _{j_{1}}=\Delta _{1},\Delta _{j_{2}}=\Delta _{2}}$ и так далее. Тогда

${\textstyle \left|\int _{\Delta _{n}}f(z)dz\right|\geq {\frac {M}{4^{n}}},\quad \left|\Delta _{n+1}\right|={\frac {\left|\Delta _{n}\right|}{2}}}$

${\textstyle \bigcap {\overline {\operatorname {Int} \Delta _{n}}}=\left\{z_{0}\right\}\subset D}$: так как у нас последовательность вложенных треугольников, и их периметр стремится к нулю, то в пересечении у них только точка ${\textstyle z_{0}\in D}$.

${\textstyle f\in O\left(z_{0}\right)\Rightarrow f(z)=f\left(z_{0}\right)+f^{\prime }\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)+o\left(z-z_{0}\right)}$ (при ${\textstyle z\rightarrow z_{0}}$)

${\textstyle {\frac {M}{4^{n}}}\leq \left|\int _{\Delta _{n}}f(z)dz\right|\leq \left|\int _{\Delta _{n}}f\left(z_{0}\right)dz\right|+\left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|\left|\int _{\Delta _{n}}zdz-\int _{\Delta _{n}}zdz\right|+\left|\int _{\Delta _{n}}o\left(z-z_{0}\right)dz\right|}$

Интегралы ${\textstyle \int _{{\mathcal {\Delta }}_{n}}f\left(z_{0}\right)dz,\int _{\Delta _{n}}zdz\mathrm {,} \int _{\Delta _{n}}z_{0}dz}$ равны нулю.

${\textstyle \forall \varepsilon >0\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }}$

${\textstyle \left|\int _{\Delta _{n}}o\left(z-z_{0}\right)dz\right|\leq \int _{\Delta _{n}}\varepsilon \left|z-z_{0}\right||dz|\leq \varepsilon \left|\Delta _{n}\right|\left|\Delta _{n}\right|={\frac {\varepsilon |\Delta |^{2}}{4^{n}}}}$ (по свойству 5)

Мы получили, что ${\textstyle {\frac {M}{4^{n}}}\leq {\frac {\varepsilon |\Delta |^{2}}{4^{n}}}}$, значит, ${\textstyle M\leq \varepsilon |\Delta |^{2}\quad \forall n\geq N_{\varepsilon }}$. Так как ${\textstyle \varepsilon }$ мы выбирали произвольно, то можно сделать его сколь угодно малым, значит, ${\textstyle M=0}$, что и требовалось доказать.

2а) Пусть Г выпуклая замкнутая ломаная:

${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=\sum _{k=1}^{N}\left(\int _{\Delta _{k}in\;D}f(z)dz\right)=0}$ (по пункту 1)

2б) Пусть Г произвольная замкнутая ломаная:

Примем без доказательства, что ${\textstyle \operatorname {Int} \Gamma =\bigcup _{j=1}^{N}\operatorname {Int} \Gamma _{j}}$, где ${\textstyle \Gamma _{j}}$ выпуклые замкнутые ломаные. Тогда

${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=\sum _{j=1}^{N}\int _{\Gamma _{j}}f(z)dz=0}$

3) Возьмём открытое множество ${\textstyle u(\Gamma ):\Gamma \subset u(\Gamma ),{\overline {u(\Gamma )}}\subset D}$. По теореме Кантора, функция, непрерывная на компакте ${\textstyle {\overline {u(\Gamma )}}}$, равномерно непрерывна на нём:

${\textstyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta _{\varepsilon }>0\forall z_{1},z_{2}\in {\overline {u(\Gamma )}}:\left|z_{1}-z_{2}\right|<\delta _{\varepsilon }\quad \left|f\left(z_{1}\right)-f\left(z_{2}\right)\right|<\varepsilon }$

Возьмём такую замкнутую ломаную ${\textstyle L}$, вписанную в Г, чтобы ${\textstyle L\subset u(\Gamma )}$ и чтобы ${\textstyle \forall z_{1},z_{2}\in {\breve {w_{k-1}w_{k}\quad }}\left|z_{1}-z_{2}\right|<\varepsilon }$ (${\textstyle w_{k}}$ вершины ломаной, ${\textstyle k=1,2,\ldots ,n}$). Для этого достаточно,чтобы ${\textstyle \forall k\;|{\breve {w_{k-1}w_{k}\quad }}|<\varepsilon }$.

${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz-\int _{L}f(z)dz}$ (так как ${\textstyle \int _{L}f(z)dz=0}$)

${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}\left(\int _{\breve {w_{k-1}w_{k}}}f(z)dz-\int _{[w_{k-1},w_{k}]}f(z)dz\right)=}$

${\textstyle =\sum _{k=1}^{n}\left(\int _{\breve {w_{k-1}w_{k}}}\left(f(z)-f\left(w_{k}\right)\right)dz-\int _{[w_{k-1},w_{k}]}\left(f(z)-f\left(w_{k}\right)\right)dz\right)}$

Так как ${\textstyle \int _{\breve {w_{k-1}w_{k}}}f\left(w_{k}\right)dz=\int _{\left[w_{k-1},w_{k}\right]}f\left(w_{k}\right)dz}$ и ${\textstyle f\left(w_{k}\right)=const}$

${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\left(\int _{\breve {w_{k-1}w_{k}}}\left(f(z)-f\left(w_{k}\right)\right)dz-\int _{\left[w_{k-1},w_{k}\right]}\left(f(z)-f\left(w_{k}\right)\right)dz\right)\leq }$

${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\left(\varepsilon \left|{\breve {w_{k-1}w_{k}}}\right|+\varepsilon \left|w_{k-1}-w_{k}\right|\right)\leq 2\varepsilon |\Gamma |\quad \forall \varepsilon \Longrightarrow }$

${\textstyle \Longrightarrow \int _{\Gamma }f(z)dz=0}$

Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)