Комплексный анализ I/Билеты/Комплексная производная

Дифференцируемость

Определение. ${\textstyle f:u\left(z_{0}\right)\rightarrow \mathbb {C} }$ называется ${\textstyle \mathbb {C} }$ дифференцируемой в точке ${\textstyle z_{0}}$, если ${\textstyle \exists \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}}=f^{\prime }\left(z_{0}\right)}$.

Пример. ${\textstyle f(z)=z^{n};\quad \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\left(z_{0}+\Delta z\right)^{n}-z_{0}^{n}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\Delta z\left(\left(z_{0}+\Delta z\right)^{n-1}+\cdots +z_{0}^{n-1}\right)}{\Delta z}}=nz_{0}^{n-1}}$

Пример. ${\textstyle f(z)={\overline {z}};\lim _{\Delta Z\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z_{0}+\Delta z}}-{\overline {z_{0}}}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}}$

Этот предел не существует, так как если брать ${\textstyle \Delta z}$ вида ${\textstyle \Delta z=\Delta x}$, то есть только действительная часть, то ${\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}=1}$;

если брать ${\textstyle \Delta z}$ вида ${\textstyle \Delta z=i\Delta y}$, то ${\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{\frac {-i\Delta y}{i\Delta y}}=-1}$.

Определение. ${\textstyle \sqsupset z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$. ${\textstyle f}$ называется ${\textstyle \mathbb {R} }$-дифференцируемой в точке ${\textstyle z_{0}}$, если:

${\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{u\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-u\left(x_{0},y_{0}\right)=a\Delta x+b\Delta y+o\left({\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right)}\\{v\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)-v\left(x_{0},y_{0}\right)=c\Delta x+d\Delta y+o\left({\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\right)}\end{array}}\right.}$

Теорема. ${\textstyle \sqsupset f=u+iv:u\left(z_{0}\right)\rightarrow \mathbb {C} ,}$''${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема в точке ${\textstyle z_{0}}$ тогда и только тогда, когда:

1. ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$-дифференцируема в точке ${\textstyle z_{0}}$;
2. выполняются условия Коши Римана:

${\textstyle \left\{{\begin{array}{c}{u_{x}\left(z_{0}\right)=v_{y}\left(z_{0}\right)}\\{u_{y}\left(z_{0}\right)=-v_{x}\left(z_{0}\right)}\end{array}}\right.}$

Доказательство. ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема тогда и только тогда, когда ${\textstyle f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)=f^{\prime }\left(z_{0}\right)\Delta z+o(\Delta z)(\Delta z\rightarrow 0)}$

${\textstyle u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)+i\left(v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)\right)=(a+ib)(\Delta x+i\Delta y)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Следовательно:

${\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)=a\Delta x-b\Delta y+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}\\{v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)=b\Delta x+a\Delta y+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}\end{array}}\right.}$

Видно,что:

${\textstyle u_{x}\left(z_{0}\right)=a,u_{y}\left(z_{0}\right)=-b,v_{x}\left(z_{0}\right)=b,v_{y}\left(z_{0}\right)=a}$,

то есть:

${\textstyle \left\{{\begin{array}{c}{u_{x}\left(z_{0}\right)=v_{y}\left(z_{0}\right)}\\{u_{y}\left(z_{0}\right)=-v_{x}\left(z_{0}\right)}\end{array}}\right.}$

Пример. (выполнены условия Коши–Римана, но нет ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируемости)

Возьмём функцию ${\textstyle f=u+iv}$,где ${\textstyle u}$ функция, на действительной и мнимой осях равная ${\textstyle 1}$, а вне их равная ${\textstyle 0}$, а ${\textstyle v\equiv 0}$. Возьмём точку ${\textstyle z_{0}=0}$:

${\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{v_{x}(0)=0}\\{v_{y}(0)=0}\\{u_{x}(0)=0}\\{u_{y}(0)=0}\end{array}}\right.}$

Условия КошиРимана выполняются, но ${\textstyle f}$ не ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема, так как разрывна.

Замечание. ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируемость в точке ${\textstyle z_{0}}$ влечёт за собой непрерывность в точке ${\textstyle z_{0}}$ .

Правила дифференцирования

1. ${\textstyle {(f\pm g)^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }}}$
2. ${\textstyle {(\alpha f)^{\prime }=\alpha f^{\prime }}}$
3. ${\textstyle (gf)^{\prime }=f^{\prime }g+fg^{\prime }}$
4. ${\textstyle {\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {fg-gf}{g^{2}}}}}$
5. ${\textstyle {\left(f\left(g\left(z_{0}\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(z_{0}\right)\right)g^{\prime }\left(z_{0}\right)}}$
6. ${\textstyle {\left(f^{-1}\right)\left(z_{0}\right)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(z_{0}\right)\right)}}}}$

Пример. Рассмотрим функцию ${\textstyle e^{Z}}$:

${\textstyle e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$

${\textstyle \left\{{\begin{array}{l}{u=e^{x}\cos y}\\{v=e^{x}\sin y}\end{array}}\right.}$

${\textstyle \mathbb {R} }$-дифференцируемость в любой точке очевидна, проверим условия Коши Римана:

${\textstyle {\begin{aligned}u_{x}=&e^{x}\cos y=v_{y}\\u_{y}=&-e^{x}\sin y=-v_{x}\end{aligned}}}$

Итак, экспонента ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема. Найдём её производную ${\textstyle \left(e^{z}\right)^{\prime }\left(z_{0}\right)=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {e^{z_{0}+\Delta z}-e^{z_{0}}}{\Delta z}}}$.

Экспонента ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема, значит, этот предел одинаков по всем направлениям, в частности, по чисто действительному направлению ${\textstyle \Delta z=\Delta x}$:

${\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {e^{z_{0}+\Delta z}-e^{z_{0}}}{\Delta z}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {e^{z_{0}+\Delta z}-e^{z_{0}}}{\Delta z}}={\frac {\partial e^{z}}{\partial x}}=e^{x_{0}}\left(\cos y_{0}+i\sin y_{0}\right)=e^{z_{0}}}$

Значит, ${\textstyle \left(e^{z}\right)^{\prime }=e^{z}}$, и, вообще, если ${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема в точке ${\textstyle z_{0}}$, то ${\textstyle f^{\prime }\left(z_{0}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\left(z_{0}\right)=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(z_{0}\right)}$

Пример. Вычислим производные синуса и косинуса:

${\textstyle {\begin{aligned}(\sin z)^{\prime }&=\left({\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\right)^{\prime }={\frac {ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i}}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}=\cos z\\(\cos z)^{\prime }&=\left({\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\right)={\frac {ie^{iz}-ie^{-iz}}{2}}={\frac {-e^{iz}+e^{-iz}}{2i}}=-\sin z\end{aligned}}}$

Пример. (Функция, которая ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема везде, кроме нуля, а в нуле выполняются условия Коши-Римана)

${\textstyle {\begin{array}{c}{f(z)=\left\{{\begin{array}{c}{e^{-{\frac {1}{z^{4}}}},\quad z\neq 0}\\{0,\quad z=0}\end{array}}\right.}\\{f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{4}}}}}\\{f_{x}(0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{\Delta x^{4}}}}}{\Delta x}}=0}\end{array}}}$

Значит,

${\textstyle {\begin{array}{c}{u_{x}=v_{x}=0}\\{f(iy)=e^{-{\frac {1}{y^{4}}}}}\\{f_{y}(0)=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{\Delta y^{4}}}}}{\Delta y}}=0}\end{array}}}$

Теорема. (Лумана-Меньшова, без доказательства): ${\textstyle \sqsupset D}$ область, ${\textstyle f:D\rightarrow \mathbb {C} }$ непрерывна в ${\textstyle D}$ и удовлетворяет условиям Коши Римана в ${\textstyle D}$. Тогда ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема в ${\textstyle D}$.

Условия Коши-Римана в комплексной форме

${\textstyle \sqsupset f=u+iv}$

${\textstyle f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)=u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)+i\left(v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)\right)}$

${\textstyle {\begin{array}{l}{u\left(z_{0}+\Delta z\right)-u\left(z_{0}\right)+i\left(v\left(z_{0}+\Delta z\right)-v\left(z_{0}\right)\right)=u_{x}\Delta x+u_{y}\Delta y+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)+i\left(v_{x}\Delta x+v_{y}\Delta y+\right.}\\{+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right))=u_{x}{\frac {\Delta z+{\overline {\Delta z}}}{2}}+u_{y}{\frac {\Delta z-{\overline {\Delta z}}}{2i}}+i\left(v_{x}{\frac {\Delta z+{\overline {\Delta z}}}{2}}+v_{y}{\frac {\Delta z-{\overline {\Delta z}}}{2i}}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=}\end{array}}}$

${\textstyle {\begin{array}{l}{={\frac {\Delta z}{2}}\left(u_{x}-iu_{y}+iv_{x}+v_{y}\right)+{\frac {\overline {\Delta z}}{2}}\left(u_{x}+iu_{y}+iv_{x}-v_{y}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)={\frac {\Delta z}{2}}\left(u_{x}+iv_{x}-i\left(u_{y}+iv_{y}\right)\right)+}\\{+{\frac {\overline {\Delta z}}{2}}\left(u_{x}+iv_{x}+i\left(u_{y}+iv_{y}\right)\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\Delta z{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+{\overline {\Delta z}}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}\end{array}}}$

Введём такие обозначения:

${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

${\textstyle \Delta z{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+{\overline {\Delta z}}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial z}}\Delta z+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\overline {\Delta z}}+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Запишем производную ${\textstyle f}$:

${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {{\frac {\partial f}{\partial z}}\Delta z+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\overline {\Delta z}}+o\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\Delta z}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+\lim _{\Delta z\rightarrow 0}\left({\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}\right)}$

${\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}\left({\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}{\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}\right)=0}$

${\textstyle \lim _{\Delta z\rightarrow 0}\left({\frac {\overline {\Delta z}}{\Delta z}}\right)}$ не существует, поэтому это возможно только если ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {Z}}}}=0}$. Это и есть условие Коши Римана в комплексной форме.

${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}$

${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {Z}}}}={\frac {1}{2}}\left(f_{x}+if_{y}\right)=0}$

${\textstyle {\begin{array}{c}{f_{x}=-if_{y}}\\{u_{x}+iv_{x}=-i\left(u_{y}+iv_{y}\right)}\\{u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}}\\{\quad \quad v_{x}=-u_{y}}\\{\quad v_{x}=-u_{y}}\end{array}}}$

Голоморфные функции

Определение. ${\textstyle f}$ называется голоморфной (аналитической) в точке ${\textstyle z_{0}}$, если она ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема в точке ${\textstyle z_{0}}$.

Определение. ${\textstyle f}$, определённая в области ${\textstyle D}$, называется голоморфной (аналитической) в области ${\textstyle D}$, если она ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема во всех точках ${\textstyle D}$. Голоморфность в области ${\textstyle D}$ обозначается так: ${\textstyle f\in O(D)}$ или ${\textstyle f\in A(D)}$.

Утверждение. ${\textstyle \sqsupset D}$ область, ${\textstyle f\in O(D)}$ и ${\textstyle \operatorname {Re} f=u\equiv 0}$.

Тогда ${\textstyle f\equiv i*const}$

Доказательство. *пока нет*

Голоморфность в бесконечности

Определение. ${\textstyle \sqsupset f:u\left(z_{0}\right)\rightarrow {\overline {\mathbb {C} }},f\left(z_{0}\right)=\infty }$. ${\textstyle f\in O(z_{0})}$, если ${\textstyle {\frac {1}{f}}\in O\left(z_{0}\right)}$

Пример. ${\textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ в точке ${\textstyle z_{0}=0}$. ${\textstyle {\frac {1}{f(z)}}=z}$ голоморфна в точке ${\textstyle z_{0}=0}$, значит, и ${\textstyle f(z)}$ голоморфна в точке ${\textstyle 0}$.

Определение. ${\textstyle f:u(\infty )\rightarrow {\overline {\mathbb {C} }}}$ называется голоморфной в бесконечности, если ${\textstyle f\left({\frac {1}{z}}\right)\in O(0)}$. Голоморфность ${\textstyle f}$ в бесконечности обозначается: ${\textstyle f(z)\in O(\infty )}$.

Пример. ${\textstyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

${\textstyle f(\infty )={\frac {a}{c}},\quad f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {a+bz}{c+dz}}\in O(0)}$, значит, ${\textstyle f(z)\in O(\infty )}$

Пример. ${\textstyle f(z)=z}$

${\textstyle f(\infty )=\infty ,\quad f\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{z}}\in O(0)}$, значит, ${\textstyle f(z)\in O(\infty )}$

Конформность голоморфных отображений

Определение. ${\textstyle \sqsupset f=u+iv:u\left(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\right)\rightarrow \mathbb {C} ,f}$ – ${\textstyle \mathbb {R} }$-дифференцируема в точке ${\textstyle z_{0}}$. ${\textstyle f}$ конформна в точке ${\textstyle z_{0}}$, если дифференциал ${\textstyle f}$ обладает свойствами сохранения ориентированных углов и постоянства расстояния, то есть матрица Якоби ${\textstyle J=\left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)}$ ортогональная матрица с положительным определителем.

Примечание. В этом курсе лекций мы называем матрицу ортогональной, если её столбцы как векторы ортогональны; определитель не обязательно равен 1.

Утверждение. ${\textstyle f}$ конформно в точке ${\textstyle z_{0}\Longleftrightarrow f}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема в точке ${\textstyle z_{0}}$ и ${\textstyle f^{\prime }\left(z_{0}\right)\neq 0}$.

Доказательство. ${\textstyle f}$ конформно в точке ${\textstyle z_{0}\Longleftrightarrow }$

1. ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$-дифференцируема
2. ${\textstyle \left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\{b}&{a}\end{array}}\right)}$
3. ${\textstyle a^{2}+b^{2}\neq 0}$

${\textstyle \left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\{b}&{a}\end{array}}\right)}$${\textstyle \Longleftrightarrow }$ выполняются условия Коши Римана ${\textstyle \Longleftrightarrow }$

1. ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$-дифференцируема
2. ${\textstyle u_{x}^{2}+v_{x}^{2}\neq 0}$

${\textstyle \left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|=\left|f_{x}\left(z_{0}\right)\right|=\left|u_{x}+iv_{x}\right|=u_{x}^{2}+v_{x}^{2}\neq 0}$

Значит, ${\textstyle \left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|\neq 0}$ и ${\textstyle f^{\prime }\left(z_{0}\right)\neq 0}$.

Геометрический смысл производной

${\textstyle \left|f^{\prime }\left(z_{0}\right)\right|}$ коэффициент растяжения бесконечно малых векторов

${\textstyle \arg f'\left(z_{0}\right)}$ угол, на который поворачиваются бесконечно малые вектора

Определение. ${\textstyle f}$ голоморфна в области ${\textstyle D}$${\textstyle \Longleftrightarrow }$ ${\textstyle f\in O(D)}$, ${\textstyle \forall z\in D:f^{\prime }(z)\neq 0}$ ${\textstyle f(z)}$ конформна в точке ${\textstyle z}$.

В ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ много конформных отображений.

Теорема. (Лиувилль, без доказательства)

${\textstyle \sqsupset f}$ область в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\textstyle n\geq 3,f:D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ конформна в любой точке из ${\textstyle D}$. Тогда ${\textstyle f}$ является композицией параллельного переноса, инверсии, поворота и гомотетии.