Комплексный анализ I/Билеты/Многогранность голоморфности

Теорема. (три эквивалентных определения голоморфных функций): ${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$ (не обязательно односвязная). Тогда следующие условия эквивалентны:

1) ${\textstyle f\in O(D)}$ (то есть ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {C} }$дифференцируема в любой точке из ${\textstyle D}$)

2) ${\textstyle f}$ раскладывается в степенной ряд в любом круге из ${\textstyle D}$

3) ${\textstyle f}$ непрерывна в ${\textstyle D}$, и по любому треугольному контуру ${\textstyle \Delta \subset D:{\overline {\operatorname {Int} }}\Delta \subset D\quad \int _{\Delta }f(z)dz=0}$

Доказательство.

${\textstyle 1)\rightarrow 2)}$ теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора из предыдущей лекции

${\textstyle 2)\rightarrow 1)}$ свойство ${\textstyle 4)}$ степенных рядов

${\textstyle 1)\rightarrow 3)}$ теорема Коши

${\textstyle 3)\rightarrow 1)}$ теорема Мореры:

${\textstyle \forall \Delta \subset D:{\overline {\operatorname {Int} }}\Delta \subset D\quad \int _{\Delta }f(z)dz=0}$, значит, для любого спрямляемого контура ${\textstyle \gamma \int _{\gamma }f(z)dz=0}$ (так же, как и в третьем пункте доказательства теоремы Коши)

${\textstyle \forall u\subset D,u}$ круг, ${\textstyle a}$ центр ${\textstyle u}$

${\textstyle F(z)=\int _{a}^{z}f(\xi )d\xi }$ интеграл по любой спрямляемой кривой с началом в ${\textstyle a}$ и с концом в ${\textstyle z}$, и эта кривая лежит в ${\textstyle u}$. Точно так же, как в теореме о существовании первообразной в односвязной области, доказываем, что ${\textstyle F^{\prime }(z)=f(z)\quad \forall z\in u}$ (там нужна только непрерывность ${\textstyle f(z)}$, значит, ${\textstyle F\in O(D)}$, значит, по теореме о бесконечной дифференцируемости голоморфных функций, ${\textstyle f\in O(u)}$, значит, ${\textstyle f\in O(D)}$.

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)