13. Ряды Лорана, их область сходимости. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов.

Теорема. ${\textstyle f\in O(r<|z-a|<R)\Rightarrow f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

${\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}$

${\textstyle \rho }$ любое число такое, что ${\textstyle r<\rho <R,\quad n=0,\pm 1,\ldots }$

Доказательство. ${\textstyle z:r<|z-a|<R\Rightarrow \exists \varepsilon >0\quad r+\varepsilon <|z-a|<R-\varepsilon }$

${\textstyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R-\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=r+\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi }$ (по интегральной формуле Коши)

1) ${\textstyle |\xi -a|=R-\varepsilon :{\frac {1}{\xi -z}}={\frac {1}{\xi -a-(z-a)}}={\frac {1}{\xi -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\xi -a}}}}}$

Второй множитель можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

${\textstyle {\frac {1}{\xi -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\xi -a}}}}={\frac {1}{\xi -a}}\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {z-a}{\xi -a}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(z-a)^{n}}{(\xi -a)^{n+1}}}}$

2) ${\textstyle |\xi -a|=r+\varepsilon :{\frac {1}{\xi -z}}=-{\frac {1}{z-a-(\xi -a)}}=-{\frac {1}{z-a}}{\frac {1}{1-{\frac {\xi -a}{z-a}}}}}$

Здесь второй множитель также можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

${\textstyle -{\frac {1}{z-a}}{\frac {1}{1-{\frac {\xi -a}{Z-a}}}}=-{\frac {1}{z-a}}\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {\xi -a}{z-a}}\right)^{n}=-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(\xi -a)^{n}}{(z-a)^{n+1}}}}$

${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R-\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=r+\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi =\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=R-\varepsilon }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}+}$

${\textstyle +\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=r+\varepsilon }f(\xi )(\xi -a)^{n}d\xi \right){\frac {1}{(z-a)^{n+1}}}}$

В первом интеграле вместо ${\textstyle R-\varepsilon }$ и во втором вместо ${\textstyle r+\varepsilon }$ можно взять любое число ${\textstyle \rho :r<\rho <R}$ , так как интеграл по замкнутой кривой внутри окружности равен интегралу по окружности, значит

${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}+\sum _{n=-\infty }^{-1}\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}=}$

${\textstyle =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi \right)(z-a)^{n}}$

Замечание. Ряд Лорана сходится к ${\textstyle f(z)}$ равномерно внутри кольца ${\textstyle r<|z-a|<R}$ .

Неравенства Коши для коэффициентов Лорана. ${\textstyle \left|C_{n}\right|\leq {\frac {\max _{|z-a|=\rho }|f(z)|}{\rho ^{2}}},r<\rho <R}$

Теорема. (свойства рядов Лорана)

1) ряд Лорана сходится в кольце ${\textstyle r<|z-a|<R}$ , где ${\textstyle r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}$ , ${\textstyle R={\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}}$ . Вне этого кольца ряд расходится. Если ${\textstyle r>R}$ то ряд не сходится вообще нигде

2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция

3) ${\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi ,n\in \mathbb {Z} }$ , то есть наш ряд это ряд Лорана для ${\textstyle f(z)}$ .

Доказательство.

1) ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}+\sum _{n=-\infty }^{-1}C_{n}(z-a)^{n}}$ – первая часть называется правильной частью ряда Лорана, вторая главной частью ряда Лорана. Посмотрим, где сходятся по отдельности главная и правильная части.

Главная часть:

${\textstyle \sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$ сходится при ${\textstyle |z-a|<R={\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}}$

Правильная часть:

${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{-1}C_{n}(z-a)^{n}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {C_{-n}}{(z-a)^{n}}}}$ сходится при ${\textstyle \left|{\frac {1}{z-a}}\right|<{\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}}}$ ${\textstyle \Leftrightarrow |z-a|>r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}$

Получается, что ряд Лорана сходится в кольце ${\textstyle r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}<|z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}=R}$ . Если ${\textstyle r>R}$ , то области сходимости главной части (внешность круга радиусом ${\textstyle r}$ с центром в ${\textstyle a}$ ) и правильной части (внутренность круга радиусом ${\textstyle R}$ с центром в ${\textstyle a}$ ) не пересекаются. Значит, ряд Лорана нигде не сходится.

2) правильная часть сходится равномерно внутри круга ${\textstyle |z-a|<R}$ ;

главная часть сходится равномерно внутри ${\textstyle |z-a|>r}$

Значит, наш ряд сходится равномерно внутри кольца ${\textstyle r<|z-a|<R}$ ${\textstyle \Rightarrow }$ , по следствию из теоремы Вейерштрасса, сумма рядов голоморфна внутри кольца ${\textstyle r<|z-b|<R}$ .

3) ${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {\sum _{k=-\infty }^{+\infty }C_{k}(\xi -a)^{k}}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }(\xi -a)^{k-n-1}d\xi }$

Сделаем замену переменной ${\textstyle \xi =a+\rho e^{i\varphi },\varphi \in [0,2\pi ]}$ , ${\textstyle \sqsupset v=k-n-1}$

${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }(\xi -a)^{v}d\xi =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{v}e^{iv\varphi }i\rho e^{i\varphi }d\varphi =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}\rho ^{v+1}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(v+1)\varphi }d\varphi }$

${\textstyle {\frac {C_{k}\rho ^{v+1}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(v+1)\varphi }d\varphi =\left\{{\begin{array}{l}{C_{k},v=-1}\\{0,v\neq -1}\end{array}}\right.}$

${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {C_{k}\rho ^{v+1}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(v+1)\varphi }d\varphi =C_{k}}$

Следствие. (из пункта 3) Если ${\textstyle f(z)\in O(r<|z-a|<R)}$ , то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)