Комплексный анализ I/Билеты/Свойства дробно-линейных отображений. Дробно-линейные автоморфизмы круга.

Определение. Дробно-линейное отображение ${\textstyle f(z)}$ – это отображение вида:

${\textstyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad ad-bc\neq 0}$

Теорема. (свойства дробно-линейных отображений):

1. Всякое дробно-линейное отображение ${\textstyle f:{\overline {\mathbb {C} }}\leftrightarrow {\overline {\mathbb {C} }}}$ есть гомеоморфизм;
2. ${\textstyle \forall }$ области ${\textstyle D\subset {\overline {\mathbb {C} }}}$ образ ${\textstyle f(D)}$ – тоже область, и ${\textstyle f(\partial D)=\partial f(D)}$;
3. множество всех окружностей и прямых под действием ДЛО переходит само в себя;
4. ${\textstyle f}$ сохраняет ориентированные углы между гладкими кривыми;
5. ${\textstyle f}$ сохраняет симметрию относительно прямых и окружностей;
6. все ДЛО образуют группу.

Доказательство.

1) Рассмотрим уравнение ${\textstyle {\frac {az+b}{cz+d}}=w}$, ${\textstyle w\in \mathbb {C} }$:

${\textstyle {\begin{array}{l}{az+b=w(cz+d)}\\{(cw-a)z=b-wd}\end{array}}}$

Уравнение имеет ровно одно решение за исключением случая ${\textstyle cw-a=0}$, то есть ${\textstyle w={\frac {a}{c}}}$;

следовательно, ${\textstyle \forall w\in \mathbb {C} \backslash \left\{{\frac {a}{c}}\right\}\quad \exists !z\in \mathbb {C} :f(z)=w}$;

${\textstyle f(\infty )={\frac {a}{c}}}$:

• ${\textstyle \lim _{z\rightarrow \infty }{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}}$;
• если ${\textstyle c=0}$, то ${\textstyle f(\infty )=\infty }$.

${\textstyle f^{-1}({\frac {a}{c}})=\infty }$.

2) Вытекает из гомеоморфности.

3) ${\textstyle l:A\left(x^{2}+y^{2}\right)+Bx+Cy+D=0}$ – уравнение обобщённой окружности ${\textstyle (A,B,C,D\in R)}$

${\textstyle z=x+iy}$

${\textstyle A|z|^{2}+B\left({\frac {Z+{\overline {Z}}}{2}}\right)+C\left({\frac {Z-{\overline {Z}}}{2i}}\right)+D=0}$

${\textstyle A|z|^{2}+{\frac {1}{2}}(B-iC)z+{\frac {1}{2}}(B+iC){\overline {z}}+D=0}$

любое ДЛО является композицией простых ДЛО вида:

• ${\textstyle z+\alpha }$
• ${\textstyle \beta z}$
• ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$

${\textstyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {-{\frac {ad}{c}}+b}{cz+d}}}$

Очевидно, что ${\textstyle z+\alpha }$ (параллельный перенос) и ${\textstyle \beta z}$ (растяжение и поворот) сохраняют прямые и окружности;

осталось доказать для ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$ (инверсии).

${\textstyle w={\frac {1}{z}}}$, ${\textstyle z\in l}$, следовательно, ${\textstyle w\in {\tilde {l}}}$:

${\textstyle {\frac {A}{|w|^{2}}}+{\frac {1}{2}}(B-iC){\frac {1}{w}}+{\frac {1}{2}}(B+iC){\frac {1}{\overline {w}}}+D=0}$

${\textstyle A+{\frac {1}{2}}(B-iC){\overline {w}}+{\frac {1}{2}}(B+iC)w+D|w|^{2}=0}$

${\textstyle w=u+iv,\quad {\overline {w}}=u-iv}$

${\textstyle A+{\frac {1}{2}}(B-iC)(u-iv)+{\frac {1}{2}}(B+iC)(u+iv)+D\left(u^{2}+v^{2}\right)=0}$

${\textstyle A+Bu-Cv+D\left(u^{2}+v^{2}\right)=0}$

4) как мы выяснили ранее, любое ДЛО является композицией простых ДЛО вида ${\textstyle z+\alpha }$, ${\textstyle \beta z}$, ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$.

Очевидно, что ${\textstyle z+\alpha }$ и ${\textstyle \beta z}$ сохраняют ориентированные углы; осталось доказать для ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$.

${\textstyle f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$

${\textstyle (x,y)\rightarrow (u(x,y),v(x,y))}$

Это отображение сохраняет углы, если ${\textstyle J=\left({\begin{array}{ll}{u_{x}^{\prime }}&{u_{y}^{\prime }}\\{v_{x}^{\prime }}&{v_{y}^{\prime }}\end{array}}\right)}$ ортогональная матрица;

и, кроме того, сохраняет ориентацию углов, если ${\textstyle |J|>0}$.

В нашем случае ${\textstyle f(z)={\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\textstyle u(x,y)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\quad v(x,y)={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\textstyle J=\left({\begin{array}{cc}{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}&{\frac {-2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\\{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}&{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\end{array}}\right)}$ ортогональная матрица

${\textstyle |J|={\frac {\left(y^{2}-x^{2}\right)^{2}+4x^{2}y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}}}={\frac {\left(y^{2}+x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}}}={\frac {1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}>0}$

5)

6) {ДЛО} группа с операцией композиция, ${\textstyle \{LFT\}=GL(2,\mathbb {C} )\backslash \left\{\lambda \left({\begin{array}{ll}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}}\right)\right\},\mathbb {C} \backslash \left\{{\frac {a}{c}}\right\}}$

(LFT stands for Linear Fractional Transformation – издержки LaTeX’а местного MediaWiki)

Группа некоммутативна, например:

${\textstyle {\begin{array}{c}{{\frac {1}{z}}\circ (z-1)={\frac {1}{z-1}}}\\{(z-1)\circ {\frac {1}{z}}={\frac {1}{z}}-1}\\{{\frac {az+b}{cz+d}}\circ {\frac {a^{\prime }z+b^{\prime }}{c^{\prime }z+d^{\prime }}}={\frac {Az+B}{Cz+D}}}\\{\left({\begin{array}{ll}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{a^{\prime }}&{b^{\prime }}\\{c^{\prime }}&{d^{\prime }}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{array}}\right)}\end{array}}}$

Пример. Выясним,во что переводит единичный круг ДЛО ${\textstyle {\frac {z+i}{i-z}}}$. Сначала выясним, во что наше ДЛО переводит границу единичного круга, то есть единичную окружность; по свойству 3 ДЛО она перейдёт либо в окружность, либо в прямую; возьмём две точки на окружности: ${\textstyle i}$ и ${\textstyle -i}$, и посмотрим, куда они переходят:

${\textstyle {\begin{array}{l}{i\rightarrow \infty }\\{-i\rightarrow 0}\end{array}}}$

то есть видно, что окружность переходит в прямую, так как есть точка, переходящая в бесконечность; выясним, в какую прямую: по свойству 4 ДЛО сохраняет ориентированные углы между кривыми

image

Теорема. Все ДЛО, переводящие единичный круг сам в себя, имеют вид ${\textstyle b{\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}}$, где ${\textstyle |a|<1,|b|=1}$, с точностью до умножения на ненулевой множитель.

Доказательство. Cначала докажем,что любое ДЛО, переводящее единичный круг в себя, представимо в виде

${\textstyle b{\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}}$, где ${\textstyle |a|<1,|b|=1}$.

Пусть точка ${\textstyle b}$ переходит в 0, тогда симметричная ей относительно единичной окружности точка ${\textstyle {\frac {1}{\overline {a}}}}$ переходит в бесконечность, то есть наше ДЛО имеет вид:

${\textstyle B{\frac {z-a}{z-{\frac {1}{\overline {a}}}}}=b{\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}}$

Возьмём точку на единичной окружности, то есть пусть ${\textstyle |z|=1}$, тогда ${\textstyle z{\overline {z}}=1}$ и, так как она перейдёт в точку на единичной окружности, то:

${\textstyle 1=\left|b{\frac {z-a}{1-{\overline {a}}_{Z}}}\right|=|b|\left|{\frac {z-a}{z{\overline {z}}-{\overline {a}}z}}\right|=|b|\left|{\frac {z-a}{z({\overline {z}}-{\overline {a}})}}\right|=|b|{\frac {|z-a|}{|z||{\overline {z}}-{\overline {a}}|}}={\frac {|b|}{|z|}}=|b|}$

Докажем обратное, что любое ДЛО вида ${\textstyle b{\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}}$, где ${\textstyle |a|<1,|b|=1}$, переводит единичный круг сам в себя. Возьмём точку ${\textstyle A}$ на единичной окружности, то есть ${\textstyle |z|=1}$:

${\textstyle 1=|b|={\frac {|b|}{|z|}}=|b|{\frac {|z-a|}{|z||{\overline {z}}-{\overline {a}}|}}=|b|\left|{\frac {z-a}{z({\overline {z}}-{\overline {a}})}}\right|=|b|\left|{\frac {z-a}{z{\overline {z}}-{\overline {a}}z}}\right|=\left|b{\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\right|}$

то есть точка на единичной окружности переходит в точку на ней же, что и требовалось доказать.

Участник:Isbur/Комплексный анализ I/Свойства дробно-линейных отображений. Дробно-линейные автоморфизмы круга./Дополнение