Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример:
.
[править]
Теорема.
(каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка).
порядок нуля в 0. Тогда
сходится равномерно во всяком круге
.
Доказательство.
, значит
сходится равномерно в
(по условию)
Тогда, по теореме о равномерной сходимости бесконечных произведений:
равномерно сходится в
, значит
равномерно сходится во всякой точке из
, а хвосты сходятся равномерно внутри
. Следовательно,
, и
те же нули, что и
, кроме, может быть, нуля.
порядок нуля в 0. Рассмотрим
. У
нет нулей в
. Осталось показать, что
.
голоморфна в
, так как у
нет нулей в
. Значит, по теореме о существовании первообразной в односвязной области,
Пример.
Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)