Если отображения
и
таковы, что
определено на множестве значений
, то можно построить новое отображение
, значения которого
.
Такое отображение называют композицией функции
и отображения
.
Свойства отображения функций.
1.
.
Доказательство.
=
=
.
2.
≠
Доказательство. Например, f : {a, b} → a, g : {a, b} → b. Очевидно,что
,
.
Определение. Отображение, отображающееся само на себя, т.е. f : X → X, называется тождественным отображением множества X и обозначается
.
3. Лемма.
(g - сюръективно )
(f - инъективно)
Доказательство.
Если
и
: X → X, то
g - сюръективно ;
Если
, то
f - инъективно.
4. Утверждение. Отображения
взаимно обратны и биективны ↔
.
Доказательство. В силу леммы f, g - биективны и y = f (x) ↔ x = g (y).