Конспект по математической статистике/Рязанова

Математическая статистика - часть прикладной математической дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика", которая изучает случайные явления, используя одинаковые с теории вероятностей методы и понятия. Исследование поведения объекта или явления обычно осуществляется на основе изучения статистических данных - наблюдений и измерений. Поэтому первой задачей математической статистики является определение способов сбора и группировки статистической информации. Вторая задача математической статистики состоит в разработке методов анализа статистических данных, адекватных целям исследования. Таким образом, задачи математической статистики состоят в разработке методов сбора, систематизации и обработки статистических данных для их удобного представления, интерпретации и формирования научных и практических выводов.

Теория вероятностей	Математическая статистика
1. Модель, описывающая изучаемое явление или объект, известна априори (до опыта). Есть сведения обо всей генеральной совокупности, описывающей исследуемое явление 2. Используемый математический аппарат не зависит от предметной области 3. Выводы о поведении исследуемого объекта или явления делаются по всей генеральной совокупности	1. Модель, описывающая исследуемое явление, априори неизвестна 2. Для определения модели можно проводить пробные испытания (сформировать выборку из генеральной совокупности) 3. Иногда модель может быть задана априори с точностью до неизвестных параметров. 4. Значение неизвестных параметров модели могут быть получены по выборке из генеральной совокупности 5. Выводы о поведении объекта или явления делаются по выборке ограниченного объема и распространяются на всю генеральную совокупность

Генеральная совокупность — все мыслимые значения (измерения, наблюдения), описывающие поведение исследуемого объекта или явления.

Выборка из генеральной совокупности — ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление. Количество этих значений называется объемом выборки.

Материальные объекты. Их вероятностная природа

Все законы природы и общества могут быть разделены на несколько классов, среди которых важное место занимают детерминированные и статистические (стохастические).

Детерминнрованные законы — это те, для которых характерно наличие причинюй обусловленности протекающих процессов. К этому классу относятся законы небесной механики, физические законы (электричество, механика и пр), т. е. все те, которые не имеют вероятностной природы.

Статистические (стохастические) законы определяют будущее состояние системы (объекта) неоднозначно, с некоторой вероятностью. Например, такие явления макромира, как долговременные изменения температуры, или явления микромира — положение электрона в электронной оболочке (электронное облако) и др. Можно утверждать, что без случайности нет развития. Случайностью объясняются возникновение жизни на Земле, совершенствование биологических видов, исторические события, творческая деятельность, развитие социально-экономических систем [1]. Именно поэтому математическая статистика становится все более значимым инструментом статистического анализа и прогнозирования, состояния, поведения и развития различных систем, в том числе экономических процессов и явлений.

Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями

Решение задачи описания эмпирических данных (содержащих информацию о поведении реальных объектов) вероятностными моделями можно представить в виде пяти укрупненных этапов [1]. Содержание каждого этапа и применяемые на данном этапе методы отражены в табл. 2. -

Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями

Название этапа	Содержание этапа	Применяемые методы
1 Предварительная обработка данных (выборки из генеральной совокупности)	Анализ объема выборки, засоренности выборки, независимости элементов выборки	Методы непараметрической статистики (удаление засорений, проверка статистических гипотез, формирование требований к условиям проведения эксперимента)
2. Оценивание характеристик случайных величин	Точечное и интервальное оценивание числовых и функционных характеристик	Методы непараметрического оценивания (как правило, при объеме выборки п < 60), параметрическое или непараметрическое оценивание (при объеме выборки п 60)
3.Описание эмпирических данных вероятностными моделями (задачи апппроксимации)	Выбор типа модели, описывающей эмпирические данные	Методы упорядочения моделей и выбора аппроксимирующего распределения (модели)
4. Оценивание неизвестных параметров модели	Точечное и интервальное оценивание параметров	Методы интервального и точечного оценивания параметров модели (моментов , максимального правдоподобия и пр.)
5. Проверка гипотез о согласии модели и эмпирического рас- пределения	Проверка адекватности выбранной модели и эмпирического распределения	Методы проверки гипотез о согласии (χ²-Пирсона, Колмогорова —Смирнова, ω²-Мизеса и пр.)

1. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

Структура главы "Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода" представлена на рис. 2.

Цели

Иметь представление:

• об основных задачах математической статистики (МС);

• этапах статистической обработки эмпирических данных.

Знать и уметь различать понятии:

• малая, большая и репрезентативная выборки;

•формы представления выборки (негруппированная, группированная, вариационный ряд);

• функционные и числовые характеристики случайных величин [6, 81];

• точечные и интервальные оценки характеристик случайной величины;

• характеристики положения, рассеяния, формы распределения;

• характеристики порядковых статистик.

Уметь:

• получать по выборке из генеральной совокупности оценки начальных и центральных моментов, оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, оценки характеристик порядковых статистик (медиану, квантили, процентили, квартили, децили размахи), оценки функции и плотности распределения вероятностей случайной величины;

• строить полигон частот, гистограмму и график накопленных частот.

Рис. 2. Структура раздела "Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода"

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Обозначим количество всех подлежащих обследованию объектов $(i={\overline {1,N}})$ . Допустим, что каждому объекту $i$ соответствует значение $x$ . Согласно данному ранее определению, совокупность возможных значений (теоретически домысливаемых) $N$ объектов называется генеральной совокупностью, а $N$ — объемом генеральной совокупности. Генеральная совокупность может быть конечной и бесконечной. Пусть количество реально наблюдаемых объектов из $N$ равно $n$ . Тогда ${\mbox{x}}_{\mathrm {i} }$ , $i={\overline {1,n}}$ - выборка из генеральной совокупности, $n$ - объем выборки. Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами:

каждый элемент ${\mbox{x}}_{\mathrm {i} }$ выбран случайно;
все ${\mbox{x}}_{\mathrm {i} }$ имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;
$n$ должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выборка должна быть репрезентативной, представительной).

В дальнейшем будем иметь дело с выборкой, обладающей такими свойствами. Принято считать, что при $n>60$ выборка большая, или репрезентативная, а при $n<60$ - малая. Такое деление на большую и малую условно. Разные авторы используют разное пограничное $n$ , делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи. Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать в ее объемом $n$ . Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки. Возможны ситуации, когда генеральная совокупность мала. Например, исследуется время наработки до отказа уникального оборудования, когда в эксплуатации находится заведомо малое количество его экземпляров $(N)$ .

ЛИТЕРАТУРА Никитина Н.Ш."Математическая статистика для экономистов".-Москва-Новосибирск:ИНФРА-М-НГТУ,2001