Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор

Линейные операторы.

Оператор $A:X\rightarrow Y$ называется линейным, если:

1. $A({\vec {x}}+{\vec {y}})=A({\vec {x}})+A({\vec {y}});$
2. $A(\lambda {\vec {x}})=\lambda A({\vec {x}}).$

$\Theta :\forall {\vec {x}}:\Theta {\vec {x}}={\vec {0}}_{y}$ - нулевой оператор.

$I:X\rightarrow X;\forall {\vec {x}}:I{\vec {x}}={\vec {x}}$ -тождественный оператор.

$(A_{1}+A_{2}){\vec {x}}{\overset {def}{=}}A_{1}{\vec {x}}+A_{2}{\vec {x}}$ - сумма двух операторов.

$A^{2}{\vec {x}}{\overset {def}{=}}A(A({\vec {x}}));A^{k}{\vec {x}}=A(A^{k-1}({\vec {x}}))$ - степень оператора.

$A:X\rightarrow Y,B:Y\rightarrow Z;(AB){\vec {x}}{\overset {def}{=}}B(A{\vec {x}})$ - умножение операторов.

Матрица линейного оператора.

$A:X\rightarrow Y,dim(X)=m,dim(Y)=n.$

Возьмём базис ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{m}$ в X,\, ${\vec {f}}_{1},\dots ,{\vec {f}}_{n}$ базис в Y.

Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:

$A({\vec {e}}_{i})={\vec {h}}_{i}\in Y,i=1\dots m.$

$\forall {\vec {x}}\in X:{\vec {x}}=\sum \limits _{j=1}^{m}x_{j}{\vec {e}}_{j}\Rightarrow A({\vec {x}})=A(\sum \limits _{j=1}^{m}x_{j}{\vec {e}}_{j})=\sum \limits _{j=1}^{m}x_{j}A({\vec {e}}_{j})=\sum \limits _{j=1}^{m}x_{j}{\vec {h}}_{j}.$

Матрица оператора $A_{ef}=||a_{ij}||_{n\times m}=\left({\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm}\end{smallmatrix}}\right)$

$A{\vec {e}}_{1}=a_{11}{\vec {f}}_{1}+\dots +a_{n1}{\vec {f}}_{n}$

$\dots$

$A{\vec {e}}_{m}=a_{1m}{\vec {f}}_{1}+\dots +a_{nm}{\vec {f}}_{n}$

Утверждение. Если матрица $B=||b_{ij}||_{m\times n}$ осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А.

Доказательство. в базисе ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}{\text{вектору}}{\vec {e}}_{1}{\text{соответствует}}\left({\begin{smallmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{smallmatrix}}\right)\Rightarrow B\left({\begin{smallmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{smallmatrix}}\right)$

$\left({\begin{smallmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots &b_{1m}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\b_{n1}&b_{n2}&\dots &b_{nm}\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}b_{11}\\b_{21}\\\vdots \\b_{m1}\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{smallmatrix}}\right)\Rightarrow$ первый столбец В совпадает с первым столбцом $A_{ef}$, аналогично все остальные тоже совпадают $\Rightarrow B=A_{ef}$

Утверждение. Если оператор $C=A+B.$ \\ $\left(A:L\rightarrow M;B:L\rightarrow M;C:L\rightarrow M\right)$, то $C_{ef}=A_{ef}+B_{ef}$ (матрица оператора С равна сумме матриц оператора А и В)

Доказательство. $\left(A_{ef}+B_{ef}\right)\left({\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right)=A_{ef}\left({\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right)+B_{ef}\left({\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right)=A({\vec {x}})+B({\vec {x}})=(A+B)({\vec {x}})=C({\vec {x}})=C_{ef}\left({\begin{smallmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{smallmatrix}}\right)$

Обратный оператор

$A:L\rightarrow M$

Если А - изоморфизм, то: ${\vec {y}}\rightarrow {\vec {x}},\forall {\vec {y}}\in M\exists !{\vec {x}}:A{\vec {x}}={\vec {y}}\Rightarrow$ возникает некоторое отображение $A^{-1}:A^{-1}({\vec {y}})={\vec {x}}.$

Покажем, что $A^{-1}$ линейный оператор:

1) $A^{-1}({\vec {y}})\rightarrow {\vec {x}};A^{-1}({\vec {y}}_{1})\rightarrow {\vec {x}}_{1}$

$A^{-1}({\vec {y}}+{\vec {y}}_{1})={\vec {x}}+{\vec {x}}_{1}=A^{-1}({\vec {y}})+A^{-1}({\vec {y}}_{1}),({\text{т.к.}}A({\vec {x}}+{\vec {x}}_{1})=A({\vec {x}})+A({\vec {x}}_{1})={\vec {y}}+{\vec {y}}_{1}).$

2) $A^{-1}(\lambda {\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}=\lambda A^{-1}({\vec {y}}),({\text{т.к.}}A(\lambda {\vec {x}})=\lambda A({\vec {x}})=\lambda {\vec {y}}).$

Условие обратимости: $A:L\rightarrow M$ - оператор обратим $\Leftrightarrow$ оператор А осуществляет изоморфизм.

Матрица обратного оператора

$A:L\rightarrow M$ осуществляет изоморфизм (Ограниченный линейный оператор $A$ между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число $c$ такое, что $||Ax||\geq c||x||$ для всех векторов $x$) $(n=m)$ тогда $\exists A^{-1}:M\rightarrow L$.

Возьмём${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ - базис в L, ${\vec {f}}_{1},\dots ,{\vec {f}}_{n}$- базис в M, тогда:

$\forall {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i};\forall {\vec {y}}=A({\vec {x}})={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}{\vec {f}}_{i}$

$Y=A_{ef}X\Leftrightarrow A_{ef}^{-1}Y=A_{ef}^{-1}A_{ef}X\Leftrightarrow A_{ef}^{-1}Y=X\Rightarrow$ матрица $A_{ef}^{-1}$ осуществляет действие оператора $A^{-1}\Rightarrow A_{ef}^{-1}$ - матрица обратного оператора.