Линейные пространства. Базис

Линейные пространства

Пространство L - множество элементов - векторов, которые обозначаются ${\vec {a}},{\vec {b}},\dots$, в котором определены две операции: сложение и умножение на число. эти операции подчиняются аксиомам:

${\textbf {1.}}{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}};$

${\textbf {2.}}({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}});$

${\textbf {3.}}\exists {\vec {0}}:\forall {\vec {a}},{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}};$

${\textbf {4.}}\forall {\vec {a}}\exists (-{\vec {a}}):{\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0}};$

${\textbf {5.}}\alpha (\beta {\vec {a}})=(\alpha \beta ){\vec {a}};$

${\textbf {6.}}1{\vec {a}}={\vec {a}};$

${\textbf {7.}}\alpha ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}+\alpha {\vec {b}};$

${\textbf {8.}}(\alpha +\beta ){\vec {a}}=\alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {a}}.$

Базис

Определение. система ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ - базис в L $\Leftrightarrow$ система линейно независима и $\forall {\vec {x}}\in L:{\vec {x}}=\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}{\vec {e}}_{j}$

Определение. Размерностью пространства называется число $dim(L)=n\Leftrightarrow$ 1) в L $\exists$ линейно независимая система из n векторов.

2) $\forall$ система векторов в количестве большем чем n линейно зависима.

Теорема. $dim(L)=n\Leftrightarrow$ в L $\exists$ базис из n векторов.

Доказательство. $(\Rightarrow )$ : $dim(L)=n\Rightarrow$ по определению $\exists$ линейно независимая система из n векторов ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$. Докажем, что это базис. Линейная независимость дана. докажем, что $\forall {\vec {x}}\in L:{\vec {x}}=\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}{\vec {e}}_{j}$. рассмотрим систему (${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {x}}$). она линейно зависима (по определению размерности) т.е. $\exists \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},\mu$ не все равные 0 и такие что: $\lambda _{1}{\vec {e}}_{1}+\lambda _{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +\lambda _{n}{\vec {e}}_{n}+\mu {\vec {x}}={\vec {0}}.$ заметим, что $\mu \not =0\Rightarrow {\vec {x}}=\sum \limits _{j=1}^{n}({\frac {-\lambda _{j}}{\mu }}){\vec {e}}_{j}$

$(\Leftarrow )$: $\exists$ базис из n векторов: ${\vec {e}}_{1}\dots {\vec {e}}_{n}$ докажем, что $dim(L)=n$. т.к. ${\vec {e}}_{1}\dots {\vec {e}}_{n}$ - базис, то система линейно независима. докажем, что любая система из n+1 векторов линейно зависима:

${\begin{matrix}&\lambda _{1}|{\vec {y}}_{1}=\alpha _{11}{\vec {e}}_{1}+\dots +\alpha _{1n}{\vec {e}}_{n}\\&\lambda _{2}|{\vec {y}}_{2}=\alpha _{21}{\vec {e}}_{1}+\dots +\alpha _{2n}{\vec {e}}_{n}\\&\dots \\&\lambda _{n+1}|{\vec {y}}_{n+1}=\alpha _{n+1,1}{\vec {e}}_{1}+\dots +\alpha _{n+1,n}{\vec {e}}_{n}\end{matrix}}$

$A={\bigl \|}\alpha _{i,j}{\bigr \|}$ размера $(n+1)$x$n$. строки линейно зависимы $\Rightarrow \exists \lambda$: умножив на $\lambda$ систему из ${\vec {y}}$ и просуммировав получим: $\sum \limits _{j=1}^{n+1}\lambda _{j}{\vec {y}}_{j}=(\sum \limits _{j=1}^{n}\lambda _{j}\alpha _{j1}){\vec {e}}_{1}+(\sum \limits _{j=1}^{n}\lambda _{j}\alpha _{j2}){\vec {e}}_{2}+\dots +(\sum \limits _{j=1}^{n}\lambda _{j}\alpha _{jn}){\vec {e}}_{n}=0{\vec {e}}_{1}+\dots +0{\vec {e}}_{n}={\vec {0}}.\Rightarrow$ система линейно зависима.

Следствие.

1. Все базисы в линейном пространстве L ($dim(L)=n$) имеют n векторов.
2. Любая линейно независимая система из n векторов образует базис.

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Линейное пространство L, dim(L) = n > 0, ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ - базис в L. $\Rightarrow \forall {\vec {x}}\in L\exists !x_{1},\dots ,x_{n}\in R^{1}(C^{1}):{\vec {x}}=\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}{\vec {e}}_{j}.{\vec {X}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\dots \\x_{n}\end{pmatrix}}.$ возьмём новый базис в L : ${\vec {f}}_{1},\dots ,{\vec {f}}_{n}\Rightarrow {\vec {f}}_{1}=\sum \limits _{j=1}^{n}t_{j1}{\vec {e}}_{j},\dots ,{\vec {f}}_{n}=\sum \limits _{j=1}^{n}t_{jn}{\vec {e}}_{j}.$

$T={\bigl \|}t_{i,j}{\bigr \|}={\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\t_{n1}&t_{n2}&\dots &t_{nn}\end{pmatrix}}$ - матрица перехода от базиса ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ к базису ${\vec {f}}_{1},\dots ,{\vec {f}}_{n}$

${\vec {x}}=\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}{\vec {e}}_{j}=\sum \limits _{j=1}^{n}x'_{j}{\vec {f}}_{j}=\sum \limits _{i=1}^{n}x'_{i}(\sum \limits _{j=1}^{n}t_{ij}{\vec {e}}_{j});x_{j}=\sum \limits _{i=1}^{n}t_{ji}x'_{i}$

${\vec {X}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\dots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\vec {X}}'={\begin{pmatrix}x'_{1}\\\dots \\x'_{n}\end{pmatrix}}.$

${\vec {X}}=T{\vec {X}}',{\vec {X}}'=T^{-1}{\vec {X}}$