Математика (5 класс)/Что такое математические модели

Легенда о игре "пятнашки".

Знаменитые "пятнашки" изобрел американец Сэм Ллойд, живший на рубеже XIX-XX в. Головоломка быстро завоевала весь мир. Ее популярность была столь велика, что владельцы фирм вывешивали специальные объявления, запрещавшие играть в нее в рабочее время. Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролет простаивавших под уличным фонарем, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурмана, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги.

• 
  Рис. 1. В начальном положении плитки 14 и 15 поменяны местами
• 
  Рис. 2. Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормальное положение.

Математическая модель (это упрощенное математическое представление ) этой головоломки дает теория групп, а точнее симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества $X$.

Определение. Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана ассоциативная операция «сложения», которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:

• Замкнутость группы относительно операции сложения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их суммой:

$1)~~~\forall A,B\in G:~~~\exists C\in G~~~A\bigoplus B=C;$

• Существование нейтрального элемента. В группе существует некоторый элемент E, сумма которого с любым элементом A группы даёт тот же самый элемент A:

$2)~~~\exists E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\bigoplus E=E\bigoplus A=A;$

• Существование обратного элемента. Для любого элемента A группы существует такой элемент A⁻¹, что их сумма даёт единичный элемент E:

$3)~~~\forall A\in G:~~~\exists A^{-1}\in G:~~~A\bigoplus A^{-1}=A^{-1}\bigoplus A=E.$

И если перестановки достижимые из 14-15 рис.2 описываются знакопеременной группой перестановок $A_{n}$ степени n — подгруппы симметрической группы $S_{n}$ степени $n$, содержащая только чётные перестановки,то в группе достижимые из 15-14 рис.1 количество перестановок нечетное. То есть проблема подобная (1+0+...0=0) прибавляя к единице нули получить нуль, что недостижимо.

Математическая модель - это математическое представление какого-либо объекта. Говоря другими словами, это описание объекта с помощью математического языка, исследование его с помощью математических знаний и отображение его свойств с помощью формул. В итоге, у нас выйдет модель, с помощью которой можно предсказать поведение объекта.