Математическое моделирование электронных устройств

Общие сведения о математических моделях

Понятие модели

В общем случае под математической моделью реального объекта обычно понимают любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью поведение этого объекта в заданных условиях.

Если объектом является компонент электронной схемы, то математической моделью будем называть математическое описание связей между токами и напряжениями, возникающими в компоненте в статическом или в динамическом режимах работы. В частности, математической моделью компоненты могут быть уравнения вольтамперных характеристик или дифференциальное уравнение переходных процессов в компоненте.

Математическую модель можно рассматривать как некоторый оператор, ставящий в соответствие системе внутренних параметров объекта совокупность функционально связанных между собой внешних параметров.

Вид функциональной связи зависит от принципа действия объекта, а содержание понятий «внешних» и «внутренних» параметров определяется его физической сущностью и способом использования. Для математических моделей компонентов внешними параметрами обычно служат токи и напряжения, если модель предназначена для расчета схем, или заряды и плотности токов, если модель предназначена для проектирования самого компонента. Внутренними параметрами могут быть в зависимости от целей проектирования электрические или конструктивно-технологические параметры компонента, а связь между внешними и внутренними параметрами в общем случае определяется на основе фундаментальных уравнений движения носителей заряда в твердом теле.

Классификация параметров модели

Как уже было сказано выше, все параметры математических моделей делятся на два класса – внешние и внутренние. Каждый из этих классов подразделяется на два подкласса – первичные и вторичные параметры.

Первичные внешние параметры токи и напряжения. Вторичные внешние параметры – параметры, вычисляемые на основе токов и напряжений: длительности фронтов, задержек, рассеиваемые и потребляемые мощности, неравномерности частотных характеристик. Вторичные внешние параметры иногда называют выходными, схемными параметрами.

Первичные внутренние параметры – электрофизические и конструктивно-технологические параметры: размеры отдельных областей компонентов, подвижности, характеристики полупроводниковых материалов. Первичные внутренние параметры иногда называют физико-топологическими. Вторичные внутренние параметры – параметры, которые могут быть определе-ны на основе только электрических измерений на выводах компонента: входные и выходные сопротивления, коэффициенты усиления и т.д. Вторичные внутренние параметры обычно называют электрическими. Электрические параметры, как правило, являются функцией от физико-топологических, чем и обусловлено отнесение их к вторичным.

Классификация моделей

Существует две наиболее общие разновидности моделей: формальные и физические. Формальные модели используются для аппроксимации характеристик приборов в тех случаях, когда физика их работы известна недостаточно полно или когда требуется провести качественный анализ работы схемы. Неизвестные коэффициенты выбранной аппроксимирующей функции определяются из внешних электрических измерений прибора. Например, вольтамперную характеристику диода можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией (рисунок 1).

Рис. 1. Аппроксимация (---) вольтамперной характеристики диода кусочно-линейной функцией. Здесь U - приложенное напряжение; I – ток диода; Uпор – пороговое напряжение

Как правило, достаточно точные формальные модели требуют большого количества измерений и аппроксимируют характеристики приборов только в ограниченной области рабочего диапазона. Обычно они используются для предварительных оценочных расчетов.

Физическая модель в той или иной мере отражает процессы, протекающие в полупроводниковом приборе. В отличие от формальной модели уравнения физиче-ской модели выводятся на основе теории работы прибора.

Рассмотрим общую классификацию математических моделей.

1. По характеру отображаемых процессов модели можно разделить на статические и динамиче-ские. Статические модели используются при анализе по постоянному току или при очень низких частотах, когда инерционность прибора не оказывает существенного влияния на поведение схемы. Динамические модели используются при анализе переходных процессов, частотных и фазовых характеристик и т.д.

2. По способу представления, модели могут быть аналитическими, графическими или табличными. Аналитические модели компонентов представляются в виде вольтамперных характеристик или в форме дифференциальных уравнений переходных процессов, характеризующих инерционность компонента. Графические модели могут быть заданы в виде графиков вольтамперных характери-стик или в виде схем замещения. Часто исключение реактивных элементов из динамической схемы замещения превращает ее в статическую. Такие схемы замещения можно назвать сепарабельными.

Табличные модели задаются в виде цифровых таблиц, обычно соответствующих графикам экспериментальных вольтамперных характеристик, для которых трудно найти аналитическое выраже-ние. Иногда полезно оформить в виде таблицы результатов, часто используемые в расчете на ЭВМ, аналитическую модель, если вычисления по ней требуют больших затрат времени. Такая таблица, будучи однажды составлена, совместно с подпрограммой интерполяции для получения промежуточных данных может существенно ускорить расчет схемы, однако при этом увеличивается объем требуемой памяти. Кроме того, при составлении модели предполагается, что параметры модели постоянны; следовательно, с помощью таблиц можно решить лишь задачи моделирования схемы с заданными компонентами, но не задачи оптимизации схем по параметрам компонентов.

Рис. 2. Графические модели биполярного транзистора: а) нелинейная модель; б) кусочно-линейная модель; в) линейная модель

3. По характеру зависимостей, используемых для моделирования, модели делятся на два больших класса: линейные и нелинейные (рисунок 2). Отметим особый класс кусочно-линейных моделей (рисунок 2 б), нелинейность которых проявляется в ограниченном числе точек стыка линейных участков. Нелинейные модели более точны, но зато линейные и кусочно-линейные более просты и могут использоваться для экономии времени на начальных этапах проектирования, например, для выхода в область экстремума в задачах оптимизации.

4. По диапазону рабочих сигналов различают модели для малого (малосигнальные) и для большого сигналов. Обычно малосигнальные модели – линейные, поскольку они получаются при рассмот-рении малых отклонений токов и напряжений от стационарной рабочей точки, так что нелинейностью характеристики можно пренебречь. Модели для большого сигнала, как правило, нелинейные.

Математические модели пассивных компонентов

Модели резисторов

При составлении моделей резисторов обычно учитываются их частотные свойства и температурная зависимости сопротивления.

Резистор, как и всякий проводник, имеет распределенные реактивные паразитные параметры. На тех частотах, на которых влиянием реактивных параметров можно пренебречь, т.е. на низких частотах, сопротивление резистора можно считать активным. Но на высоких частотах, значения которых определяются номинальным сопротивлением и конструкцией резисторов, сопротивление резистора необходимо считать комплексным.

Рис. 3. Модели резисторов: а) полная модель резистора; б) модель высокоомного резистора; в) модель низкоомного резистора

Распределенные модели затрудняют анализ. По этой причине частотные свойства резисторов выявляются при рассмотрении упрощенных моделей (рис. 3).

В случае высокоомных резисторов можно пренебречь индуктивностью резистора (так как $R>{\sqrt {{L_{n}}{C_{n}}}}$) и эквивалентную схему представить в виде параллельного соединения $R$ - номинальное сопротивление; $C_{n}$ - паразитная емкость резистора. При малых значениях $\omega \;{C_{n}}R$ активная составляющая полного сопротивления мало отличается от $R$. Более точный анализ показывает, что для высокоомных резисторов:

• активное сопротивление резистора равно номинальному (с точностью до 1 %) и практически не зависит от частоты при $\omega \;{C_{n}}R<0.1$;
• активное сопротивление резистора уменьшается не больше чем на 10%, т.е. почти не зависит от частоты, при $\omega \;{C_{n}}R<0.3$;
• для других значений $\omega \;{C_{n}}R$ активное сопротивление можно определить из соотношения:

$R_{a}={\frac {R}{\sqrt {1+{{(\omega \;{C_{n}}R)}^{2}}}}}$

В отличие от высокоомных пленочных резисторов, которые обычно имеют спиральную нарезку, низкоомные резисторы делаются гладкими. Упрощенная схемная модель низкоомного резистора показана на рис. 3, в. Емкостное сопротивление резистора с номинальным сопротивлением менее 300 Ом всегда значительно меньше индуктивного. Резисторы промежуточных номиналов могут быть представлены полной схемной моделью (рис. 3, а). С ростом частоты комплексное сопротивление этих и низкоомных резисторов возрастает и на повышенных частотах проявляются резонансные свойства, если

Математические модели диодов

• Нелинейная модель диода
• Кусочно-линейная модель диода
• Нелинейная модель стабилитрона
• Модель стабилитрона в программе PSpice

Математические модели биполярных транзисторов

• Нелинейные модели биполярных транзисторов
  • Инжекционная модель транзистора
  • Передаточная модель транзистора
  • Модель транзистора в программе PSpice
  • Зарядоуправляемая динамическая модель
• Малосигнальные модели биполярного транзистора
  • П — образная модель биполярного транзистора
  • Т — образная модель биполярного транзистора
  • Представление транзистора как четырехполюсника