Метрические пространства[править]
Множество
называется метрическим пространством, если на множестве
введена функция:
, удовлетворяющая аксиомам:
![{\displaystyle \rho (x,y)\geq 0,\quad (\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33caa0e4f096f228367d5b0fb15460b668274ebe)
![{\displaystyle \rho (x,y)=\rho (y,x)\quad \forall x,y\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f4be48313f5add26cfd69e630d0fa289ba3998)
- метрика
- расстояние между
и
Пусть есть последовательность
при
при
Определение. Последовательность
- фундаментальная:
Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится(к элементу этого пространства).
В полных пространствах понятие фундаментальности и сходимости эквивалентно.
Принцип сжимающих отображений[править]
Пусть есть отображение
, метрического пространства
в себя
Точка
называется неподвижной точкой отображения
, если
.
Определение. Отображение
называется сжимающим если
Теорема Банаха. (Принцип сжимающих отображений)
Всякое сжимающее отображение, действующее в полном метрическом пространстве имеет и при том одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть
отображение
.
- полное пространство, отображение
- сжимающее. Возьмем некоторый
и построим последовательность
Покажем что последовательность фундаментальна: рассмотрим
последовательность фундаментальная
сходится к некоторому
Перейдем к пределу в
при
имеем:
является неподвижной точкой отображения
.
Покажем единственность: Пусть
- две неподвижные точки
Примеры применения принципа сжимающих отображений[править]
- Решение нелинейных уравнений:
, ![{\displaystyle \quad 0\leq q<1\Rightarrow |\phi '(x)|\leq q<1,\quad \forall x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281ae224c3f12d6d6f92c236f9009cb44f9f2a1c)
- Система линейных алгебраических уравнений:
;
,
,
. В роли метрического пространства выступает
. Введем метрику:
. Чтобы применить ПСО надо привести к виду
. В данном случае
;
. Чтобы был применим принцип ПСО потребуем
, тогда
решение СЛАУ
- Линейное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:
, некоторой величиной является
. Заданы
- ядро,
- правая часть.
В качестве метрического пространства возьмем
.
Предполагаем:
- метрика пространства
.
Имеем:
Рассмотрим:
Если
решение
интегрального уравнения.
Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.[править]
Скалярным произведением в вещественном (унитарном) линейном пространстве
называется вещественнозначная (комплекснозанчная) функция
, определенная на
и обладающая свойствами:
![{\displaystyle (x,y)=(y,x)\quad x,y\in E\quad ((x,y)={\overline {(y,x)}}\forall x,y\in E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28152d31d0ed8cf1c0a7033ddb1ade7c7cf8c59)
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2},y)=(x_{1},y)+(x_{2},y)\quad \forall x_{1},x_{2},y\in E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a8cafcd4fb13ca65cda119ad8cd502348418dc)
![{\displaystyle (\lambda x,y)=\lambda (x,y)\forall x,y\in E\quad \forall \lambda \in \mathbb {R} \quad (\forall \lambda \in \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2916580efccd268990f4cefd5567891a19877436)
![{\displaystyle (x,x)\geq 0\forall x\in E,(x,x)=0\Leftrightarrow x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f66303b8a33e819a97f53f6c2d169819126537)
Вещественное (комплексное) линейное пространство
с введенными в нем скалярным произведением называется евклидовым (унитарным) пространством.
Всякое евклидовое (унитарное) пространство
является нормированным с нормой:
Полное бесконечно мерное евклидово (унитарное) пространство
Называется гилбертовым пространством.
- ортонормированная система в
; Обозначим:
-
частичная сумма ряда Фурье.
- замкнутое подпространство в
.
По свойствам ортогоального дополнения
Заметим, что
Так как:
Рассмотрим
Таким образом имеем:
(так как
, потому что
, а
)
Утверждение. Справедливо неравенство Бесселя:
Доказательство.
Следствие.
, так как это необходимое условие сходимости ряда
Утверждение. Равенство Парсеваля:
справедливо
, то есть тогда когда
Теорема. Ортонормированная система
полна
для всякого
,
(
представляется рядом Фурье)
Доказательство. Система
полна: для
, то есть
Если для
последовательность частичных сумм
система полна.
Пусть система
- полна.\\ Тогда для ![{\displaystyle \forall A\in H,\forall \varepsilon >0\exists \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}:\|\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}e_{k}-f\|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183110072e58e2abd7f499364ed4a662aa8f36f3)
- замкнутое подпрстранство
Рассмотрим
Лемма. Если
- ортонормированная система в
и
, то
Доказательство. Частичная сумма
;