- уравнеие теплопроводности
Краевые условия:
- I рода
- на границе задана температура
.
- II рода
- на границе задан поток тепла.
- III рода
- на границе теплообмен с внешней средой, в которой температура
.
Пусть
- одномерный интервал
.
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial U}{\partial t}}=a^{2}\Delta U,0<x<l,0<t\leq T\\U(x,0)=\phi (x),0\leq x\leq l\\U(0,t)=\mu _{1}(t),U(l,t)=\mu _{1}(t)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20be8d8fdd073161734e680ba2db566191c2fb54)
+ Функция должна быть непрерывна
+ Должны выполняться условия согласования:
![{\displaystyle \phi (0)=U(0,0)=\mu _{1}(0),\phi (l)=U(l,0)=\mu _{2}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48184786362b2835daec8ac2f0bfc2865cd1f9a6)
Такие задачи встречаются в областях, бесконечных по
или по
.
Задача Коши уравнения теплопроводности[править]
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial U}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\\\left.U\right|_{t=0}=\phi (x)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb9c387349143701e6592e9bba2d82296e58f1c)
Общий вид уравнения:
![{\displaystyle a(x,y){\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+2b(x,y){\frac {\partial ^{2}U}{\partial x\partial y}}+c(x,y){\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+\Phi (x,y,U,{\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e100fbd40d358f1eeb8a417875bb9abae36a4f)
![{\displaystyle d=b^{2}-ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd5cdc9132599b6280a3108bb63669f1b9f270f)
Если
, то уравнение параболическое
Замена:
Получаем:
Аналогично для
:
Канонический вид:
Рассматриваем на примере уравнения теплопроводности:
Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Случай нулевых граничных условий[править]
![{\displaystyle {\begin{matrix}&{\frac {\partial U}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\quad 0<x<l,0<t\leq T&(1)\\&U(x,0)=\phi (x)\quad 0\leq x\leq l&(1')\\&U(0,t)=0,U(l,t)=0,0\leq t\leq T&(1'')\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932f2d9f69148e0e46e9744a09902a80a24242f4)
Ищем решение такой задачи в виде:
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\frac {T'(t)}{T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=const=-\lambda {\text{ (обозначим)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a73b9ed576e192dfa673ba7beb80612744cb4fe)
Задача распадается на два обычных уравнения:
При
нетривиальных решений у
нет.
При
Пусть
- решение
равны коэффициентам ряда Фурье при разложении функции
в ряд Фурье по синусам:
![{\displaystyle c_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}\phi (\xi )\sin({\frac {\pi n}{l}}\xi )d\xi ,n=1,2,3,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e68934c5d22dd7dfa5bd9e76da2f72c5493001)
Подставим в формулу
и получаем формально построенное решение.
Обоснование решения. Надо доказать, что ряд
сходится и его можно почленно дифференцировать.
Рассмотрим
, где
- сколь угодно малое, тогда
![{\displaystyle |{\frac {\partial ^{i+j}U_{n}(x,t)}{\partial x^{i}\partial t^{j}}}|\leq |c_{n}({\frac {\pi n}{l}})^{2j+i}a^{2j}e^{-({\frac {\pi n}{l}})^{2}a^{2}t}\cdot \underbrace {1} _{\geq \sin ,\cos }|\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a019a65e3d3f2e17c856298043cba2c10590aa)
![{\displaystyle \leq c_{n}({\frac {\pi n}{l}})^{2j+i}a^{2j}e^{-({\frac {\pi n}{l}})^{2}a^{2}\varepsilon }\leq 2M({\frac {\pi n}{l}})^{2j+i}a^{2j}e^{-({\frac {\pi n}{l}})^{2}a^{2}\varepsilon }=A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc01a6e1cd786fb2bb25e767f3bebfacec16ad1)
где
Получим:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j}U}{\partial x^{i}\partial t^{j}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{i+j}U_{n}}{\partial x^{i}\partial t^{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825db3bbaa750648107b49982bd537aedd452266)
Мажорируется рядом
Докажем что
сходится:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n+1}}{A_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{2j+i}e^{-({\frac {\pi a}{l}})^{2}(n^{2}+2n+1)\varepsilon }}{n^{2j+i}e^{-({\frac {\pi a}{l}})^{2}n^{2}\varepsilon }}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13450c81d56236cc2405eed4772b7139ca2099f0)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{2j+i}e^{-({\frac {\pi a}{l}})^{2}(2n+1)\varepsilon }=1\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dcb97e6ab69f04a57b3a9a4290e6c702ca4d8e)
ряд
сходитя, следовательно по признаку Веерштрасса наш ряд сходится равномерно, следовательно его можно почленно дифференцировать любое кол-во раз, так как
- любое, то это справедливо для
.
Следствие: ряд можно почленно дифф-ть какое угодно кол-во раз.
Непрерывность[править]
Наложим дополнительные условия:
имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке
. Тогда при
:
--- мажорирующий ряд для рядов Фурье
Чем выше гладкость функции, тем быстрее на бесконечности убывают коэффициенты
ряд
сходится
равномерная сходимость исходного ряда на прямоугольнике
- непрерывная функция.
Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Первая краевая задача с неоднородными граничными условиями.[править]
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial U}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}},0<x<l,0<t\leq T\\U(x,0)=\phi (x),U(0,t)=\mu _{1}(t),U(l,t)=\mu _{2}(t)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09404474dbee36305541aecd4d00c490782365bd)
Сведем эту задачу к задаче с нулевыми граничными условиями:
- удовлетворяет граничным условиям
. Задача для
имеет вид:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial V}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+f(x,t),0<x<l,0<t\leq T\\V(x,0)={\overline {V}}(x)\quad V(a,t)=0\quad V(l,t)=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9392ea0a6f384d7e893fd88d5e39e2afcfde71)
где
Пусть
. Рассмотрим 2 задачи:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial P}{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}},0<x<l,0<t\leq T\\P(x,0)={\overline {\phi }}(x),P(0,t)=P(l,t)=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ef7f535e62208a8166590426aa032a7609a4ee)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial \omega }{\partial t}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x^{2}}}+f(x,t),0<x<l,0<t\leq T\\\omega (x,0)=0\quad \omega (0,t)=\omega (l,t)=0\end{cases}}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e488c50f328eeb5f302d7a4caa22244efbdf4b5a)
Нужно решить задачу
: Будем искать
Подставим в уравнение
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sin({\frac {\pi n}{l}}x)(b'_{n}(t)+a^{2}({\frac {\pi n}{l}})^{2}b_{n}(t)-f_{n}(t))=0\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e2913179df82fba557d3a6a9b4f5c4110a5f4c)
- неоднородное линенйное дифференциальное уравнение
- однородное линеное уравнение
- решение однородного
Решение неоднородного:
Подставим в
:
Проинтегрируем с учетом нулевого условия:
Если
- достаточно гладкая функция, то ряд сходится и он будет решением задачи для
.