Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда

Любой параллелепипед $OADBCA'D'B'$ однозначно задается векторами $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$, $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$.

Найдем выражение объема через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Объем параллелепипеда определяется по формуле $V=S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}\cdot h=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \varphi \cdot |\mathbf {c} |\cos \psi$, где $\varphi$ — угол между векторами $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, а $\psi$ — угол между вектором $\mathbf {c}$ и перпендикуляром к плоскости, в которой лежат $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.

${\begin{aligned}V&=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \varphi \cos \psi =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\cos \psi {\sqrt {1-\cos ^{2}\varphi }}=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} ||\mathbf {c} |{\frac {|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}{|\mathbf {c} ||(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}{\sqrt {1-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}{|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}}}}}=\\&=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|{\frac {\sqrt {|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}{|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}}=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|{\frac {S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}{S_{\Pi (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}}=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |\end{aligned}}$

Пусть координаты векторов $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$ $\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$ $\mathbf {c} =\{c_{1},c_{2},c_{3}\}$. В ортонормированном базисе

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\{{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}},-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\right\}$

$V={\Bigg |}{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}c_{3}{\Bigg |}$

Рассмотрим выражение $V'={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}c_{3}$. Это выражение называют определителем трехмерной матрицы и обозначают $\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{1}$.

В этих обозначениях векторное произведение можно записать в виде $\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$.

Можно показать, что аналогично плоскому случаю знак $V'$ совпадает с ориентацией тройки $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$.

Величина, по модулю совпадающая с объемом параллелепипеда, а по знаку — с ориентацией тройки векторов, определяющих его, называется ориентированным объемом параллелепипеда. В ортонормированной системе координат ориентированный объем вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелепипед.