От логики до ИИ/Формальная логика

Факультет логики

На пути от человеческого разума, через логику к искусственному интеллекту

Формальная логика Математическая логика Дискретная математика Теория алгоритмов Криптография Вычислительная техника Программирование Когнитивная психология Искусственный интеллект

Дополнительные материалы:

Существуют достаточно тонкие отличия в терминологии различных наук, что и нужно вначале рассмотреть, чтобы четко понимать в каком контексте что подразумевается. Начнем наше путешествие от формальной логики до искусственного интеллекта, и посмотрим как на историческом пути менялся смысл некоторых общих терминов.

Аристотель закладывает основы формальной логики еще 330-х годах до н. э. Задачи формальной логики: анализ понятий, суждений и умозаключений, рассматривая их совершенно независимо от самого содержания понятий и суждений. Таким образом разделяется то, что мыслится от того как оно мыслится (именно поэтому, это направление логики названо формальной). «Органон логики» Аристотеля состоит из следующих сочинений:

1. «Категории» — отчасти соответствуют той части логики, которую теперь называют учением о понятиях;
2. «Об истолковании» — излагается учение о суждениях;
3. «Первая аналитика» — излагается учение о силлогизме;
4. «Вторая аналитика» — излагается учение о научном доказательстве;
5. «Топика» — излагается учение о диалектических доказательствах и вероятных заключениях;
6. «О софистических опровержениях» — приводятся примеры ложных умозаключений и показаны пути, как избавиться от софистических ошибок.

Основные понятия

Понятие

Понятие — отображенное в мышлении единство существенных свойств, связей и отношений предметов или явлений; мысль или система мыслей, выделяющая и обобщающая предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности специфическим для них признакам. Понятия суть «сокращения, в которых мы охватываем, сообразно их общим свойствам, множество различных чувственно воспринимаемых вещей» (Ф. Энгельс), а также нечувственных объектов, таких как другие понятия. Понятие не только выделяет общее, но и расчленяет предметы, их свойства и отношения, классифицируя последние в соответствии с их различиями. Так, понятие «человек» отражает и существенно общее (то, что свойственно всем людям), и отличие любого человека от всего прочего.

Логические операции

В формальной логике логические операции с понятиями — такие мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.

К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся:

• отрицание, ограничение , обобщение , деление.

К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся:

• сложение, умножение, вычитание.

Данные операции могут быть записаны математически с помощью теории множеств.

Переход же к математической логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.

Суждение

Суждение - это форма мысли, в которой фиксируется наличие или отсутствие связи между понятиями, а также в суждении утверждается или отрицается связь между предметом и его признаками или отношение между предметами.

Простые и сложные суждения

Простыми суждениями называются суждения, составными частями которых являются понятия. Простое суждение можно разложить только на понятия.

Сложными суждениями называются суждения, составными частями которых являются простые суждения или их сочетания. Сложное суждение может рассматриваться, как образование из нескольких исходных суждений, соединенных в рамках данного сложного суждения логическими союзами. От того, при помощи какого союза связываются простые суждения, зависит логическая особенность сложного суждения.

Состав простого суждения

В простом суждении могут быть выделены :

• Субъект - это мысль о каком-то предмете, понятие о предмете суждения.
• Предикат - мысль об известной части содержания предмета, которое рассматривается в суждении.
• Логическая связка - мысль об отношении между предметом и выделенной частью его содержания.
• Квантор - указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его части.

Состав сложного суждения

Сложные суждения состоят из ряда простых («Человек не стремится к тому, во что не верит и, любой энтузиазм, не подкрепляясь реальными достижениями, постепенно угасает»), каждое из которых в математической логике обозначается латинскими буквами (A, B, C, D… a, b, c, d…). В зависимости от способа образования различают конъюнктивные, дезинъюнктивные, импликационные, эквивалентные и отрицательные.

Дизъюнктивные суждения образуются с помощью разделительных (дизъюнктивных) логических связок аналогичных союзу «или». Подобно простым разделительным суждениям бывают нестрогими (нестрогая дизъюнкция), члены которой допускают совместное сосуществование (толи…, толи…), записывающимися a V b; и строгими (Строгая дизъюнкция) члены которой исключают друг друга (либо одно, либо другое), записывающимися a b (с точкой над V).

Импликационные суждения образуются с помощью импликации, эквивалентной союзу «если …, то» и записываются a → b или ab, хотя в естественном языке союз «если …, то» иногда является синонимом союза «а» («Погода изменилась и, если вчера было пасмурно, то сегодня не одной тучи») и, в таком случае, означает конъюнкцию.

Конъюнктивные суждения образуются с помощью логических связок сочетания (конъюнкции) эквивалентной запятой или союзам «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато» и другим, обозначаемых знаком «^». Что в математической логике записывается как (a^b).

Эквивалентные суждения указывают на тождественность частей суждения друг другу (проводят между ними знак равенства). Помимо определений, поясняющих какой-либо термин, могут быть представлены суждениями, соединенными союзами «если только», «необходимо», «достаточно» (например: «Чтобы число делилось на 3, достаточно чтобы, сумма цифр, его составляющих, делилась на 3»), и записывается a ≡ b; a ↔ b; ab (у разных математиков по-разному, хотя математический знак тождества все-таки ≡).

Отрицательные суждения строятся с помощью связок «не» и записываются либо a ~ b, либо a b при внутреннем отрицании типа «машина не роскошь», и с помощью черты над всем суждением при внешнем отрицании (опровержении) «не верно что …» (a b).

Заключение

Под влиянием эпохи Возрождения, формальная логика подверглась различным видоизменениям, но как учебный предмет она существует и до настоящего времени. В XIX столетии достигла своего полного развития в послекантовой философии, а именно в школе Гербарта, он уже совершенно отделяет логику от философии и не рассматривает в логике значения различных форм мышления.

Завершение формального направления мы имеем в так называемой математической логике. Бентам и Гамильтон считаются ее творцами, а де Моран, Буль и Джевонс тесно примыкают к этому направлению.

Ссылки

• Брокгауз Ф. А., Ефрон И. А. Энциклопедический словарь