Первообразная

Первообрáзной^[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции $f$ называют такую $F$ , производная которой (на всей области определения) равна $f$ , то есть $F'=f$ . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция $~F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ является первообразной $~f(x)=x^{2}$ . Так как производная константы равна нулю, $~x^{2}$ будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как $~x^{3}/3+45645$ или $~x^{3}/3-36$ и т. д.; таким образом семейство первообразных функции $x^{2}$ можно обозначить как $F(x)=x^{3}/3+C$ , где $C$ — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения $C$ .

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если $F$ — первообразная интегрируемой функции $f$ , то:

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции $f$ называют неопределённым интегралом (общим интегралом) $f$ и записывают в виде интеграла без указания пределов:

\int f(x)\,dx

Если $F$ — первообразная $f$ , и функция $f$ определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная $G$ отличается от $F$ на константу: всегда существует число $C$ , такое что $G(x)=F(x)+C$ для всех $x$ . Число $C$ называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция $f$ имеет первообразную $F$ , одна из которых представляется в виде интеграла от $f$ с переменным верхним пределом:

F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, $f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}$ с $f(0)=0$ не непрерывна при $x=0$ , но имеет первообразную $F(x)=x^{2}sin{\frac {1}{x}}$ с $F(0)=0$ .

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx

.

Более развёрнутое изложение этих фактов см. в дифференциальной теории Галуа.

Таблица первообразных

Свойства первообразной

Первообразная суммы равна сумме первообразных
Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции $f$ является непрерывность $f$ на этом отрезке
Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции $f$ первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Основная статья: Методы интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
алгоритм Риша - алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, $\exp \left(-x^{2}\right)$ ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной $F'$ и выполнения всюду равенства $F'(x)=f(x)$ , иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел $n$ -ой производнойШаблон:Нет АИ

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x),$ если будет существовать предел для функции $f^{(n)}(x),$ являющейся производной $n$ -го порядка для функции $f(x),$ то есть