Перейти к содержанию

Понятие вектора/Задачи

Материал из Викиверситета
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Примеры решения задач

[править]

Определение равенства векторов

[править]

Это класс задач, которые сводятся к вопросу «равны ли данные векторы». Большинство данных задач являются учебными, направленными на закрепление понимания темы. Как правило, на практике такие задачи в чистом виде не встречаются.

Чтобы доказать, что два вектора равны необходимо доказать, что они параллельны, одинаково направленны и их длины равны.

Пример 1

[править]

Рассмотрим параллелограмм . Середины его сторон — точки .

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то векторы, лежащие на этих сторонах равны. При этом ,

Поскольку точки и делят стороны и пополам, то равны длины отрезков . Также эти отрезки лежат на параллельных прямых. Учитывая направление отрезков можно написать

Поскольку равны и параллельны отрезки и , a также и , то треугольники и равны, а стороны и равны и параллельны. Следовательно .

Свойства равенства векторов

[править]

Это задачи на доказательства каких-либо свойств равенства векторов.

Пример 2

[править]

Доказать рефлексивность и симметричность равенства векторов. Рефлексивность. Очевидно, что любой направленный отрезок параллелен самому себе, одинаково направлен и имеет одну длину. Это значит, что он равен самому себе.

Симметричность. Если , то направленный отрезок параллелен отрезку , одинаково с ним направлен и имеет такую же длину. Очевидно, что отрезок также параллелен отрезку , одинаково с ним направлен и имеет такую же длину, что равносильно .

Пример 3

[править]

Пусть направленные отрезки и равны и не лежат на одной прямой.

Доказать, что — параллелограмм.

В четырёхугольнике стороны и равны и параллельны, так как .

Углы по свойству параллельных прямых.

Треугольники , так как , , сторона — общая.

Из равенства треугольников следует, что равны углы . По свойству параллельных это значит, что .

В четырёхугольнике противоположные стороны параллельны, значит этот четырёхугольник — параллелограмм.

Задачи для самостоятельного решения

[править]

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

Равенство векторов

[править]

Дан параллелепипед и точки , , , , , , , , , , делящие пополам стороны , , , , , , , , , соответственно (см. рисунок).

Какие равенства из перечисленных ниже верны?

Свойства равенства векторов

[править]
  1. Доказать транзитивность равенства векторов.
  2. Доказать, что для любых трёх точек , , существует единственная точка такая, что .
  3. Доказать, что если , то середины отрезков и совпадают.