Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы

Определение. Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы $k\times k,k\leq n$). Обозначается $r_{A}$.

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.

Определение. Система столбцов $A_{1},A_{2}\dots A_{k}$ называется линейно зависимой $\Leftrightarrow \exists$ числа $\lambda _{1}\dots \lambda _{k}$, не все равные нулю и такие что: $\lambda _{1}A_{1}+\dots +\lambda _{k}A_{k}=\Theta$

Теорема о базисном миноре.  Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима $\Rightarrow$ система коротких столбцов (входящих в длинные) $A_{1},A_{2}\dots A_{r}$ линейно зависима ($r_{A}=r)\Rightarrow$ по свойству определителя

$A{\begin{pmatrix}1&2&\dots &r\\1&2&\dots &r\end{pmatrix}}=$БМ$=0.$ Противоречие, т.к. БМ$\not =0$.

Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что $i$-ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. $i>r$ (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем $\forall j>r$. Раскладываем определитель по $j$-ой строке:

$A{\begin{pmatrix}1&2&\dots &r&j\\1&2&\dots &r&i\end{pmatrix}}=(-1)^{j+i}a_{j,i}M_{0}+(-1)^{j+r}a_{j,r}{\tilde {A_{r}}}+(-1)^{j+r-1}a_{j,r-1}{\tilde {A_{r-1}}}+\dots +(-1)^{j+1}a_{j,1}{\tilde {A_{1}}}=0$ так как минор порядка $(r+1)$ - нулевой (где $M_{0}$ - БМ $\Rightarrow M_{0}\neq 0)$. Выражаем $a_{j,i}$: $a_{j,i}=\alpha _{1}a_{j,1}+\alpha _{2}a_{j,2}+\dots +\alpha _{r}a_{j,r}$ Получены коэффициенты $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$. Для любого $k$: $a_{k,i}=\alpha _{1}a_{k,1}+\alpha _{2}a_{k,2}+\dots +\alpha _{r}a_{k,r}\Rightarrow A_{i}=\alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+\dots +\alpha _{r}A_{r}$ (так как $k$ - любое)

Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов $A_{i_{1}},A_{i_{2}}\dots A_{i_{r}}$, которые образуют линейно независимую систему, то $r_{A}=r$.

Доказательство. Столбцы, входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве $r_{A}$ штук), линейно выражаются через $A_{i_{1}},A_{i_{2}}\dots A_{i_{r}}\Rightarrow r_{A}\leqslant r$. Столбцы $A_{i_{1}},A_{i_{2}}\dots A_{i_{r}}$ (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве $r_{A}\Rightarrow r\leqslant r_{A}\Rightarrow r=r_{A}$.

Теорема о ранге матрицы.  Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть $r_{A}=r.\exists A_{i_{1}}\dots A_{i_{m}}$ - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов $=m$ (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) $\Rightarrow$ по утверждению 1 (если система линейно независима (количество $k$) и выражается через другую (количество $l$), то $k\leqslant l$) $m\leqslant r$, по утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы $\Rightarrow r\leqslant m\Rightarrow r=m.$