Материал из Викиверситета
Смешанное произведение[править]
Смешанным произведением трех векторов
,
и
называется число
.
Свойства векторного произведения
- Векторы
,
и
компланарны тогда и только тогда, когда
.
- Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
- Кососимметричность по любой паре аргументов:
![{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =\mathbf {b} \mathbf {c} \mathbf {a} =(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8aaf1c8552ffd3e17464dcc2049d0e5090e2b51)
- Линейность по каждому аргументу:
![{\displaystyle (\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2})\mathbf {b} \mathbf {c} =\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} \mathbf {c} +\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} \mathbf {c} \quad (k\mathbf {a} )\mathbf {b} \mathbf {c} =k(\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c29af127a6175cd50428331f4ef14a8dc1777d)
![{\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2})\mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} _{1}\mathbf {c} +\mathbf {a} \mathbf {b} _{2}\mathbf {c} \quad \mathbf {a} (k\mathbf {b} )\mathbf {c} =k(\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89acc62cff68a27c4bc39039aca1ad96653eb75)
![{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} (\mathbf {c} _{1}+\mathbf {c} _{2})=\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} _{1}+\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} _{2}\quad \mathbf {a} \mathbf {b} (k\mathbf {c} )=k(\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4a58d02f3cd5da715bafa928b5cfa0137e6836)
Смешанное произведение в ортонормированной системе координат[править]
Пусть заданы координаты трех векторов
,
и
в ортонормированной системе координат.
|
Таким образом, в ортонормированной системе координат смешанное произведение записывается в виде
|