Смешанное произведение

Смешанное произведение

Определение

Смешанным произведением трех векторов $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ называется число $\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$.

Свойства векторного произведения

• Векторы $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ компланарны тогда и только тогда, когда $\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =0$.
• Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
• Кососимметричность по любой паре аргументов: $\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =\mathbf {b} \mathbf {c} \mathbf {a} =\mathbf {c} \mathbf {a} \mathbf {b} =-\mathbf {b} \mathbf {a} \mathbf {c} =-\mathbf {c} \mathbf {b} \mathbf {a} =-\mathbf {a} \mathbf {c} \mathbf {b}$

  $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} =\mathbf {b} \mathbf {c} \mathbf {a} =(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

• Линейность по каждому аргументу:

  $(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2})\mathbf {b} \mathbf {c} =\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} \mathbf {c} +\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} \mathbf {c} \quad (k\mathbf {a} )\mathbf {b} \mathbf {c} =k(\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} )$

  $\mathbf {a} (\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2})\mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {b} _{1}\mathbf {c} +\mathbf {a} \mathbf {b} _{2}\mathbf {c} \quad \mathbf {a} (k\mathbf {b} )\mathbf {c} =k(\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} )$

  $\mathbf {a} \mathbf {b} (\mathbf {c} _{1}+\mathbf {c} _{2})=\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} _{1}+\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} _{2}\quad \mathbf {a} \mathbf {b} (k\mathbf {c} )=k(\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} )$

Смешанное произведение в ортонормированной системе координат

Пусть заданы координаты трех векторов $\mathbf {a} =\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$, $\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$ и $\mathbf {c} =\{c_{1},c_{2},c_{3}\}$ в ортонормированной системе координат.

${\begin{aligned}\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\Big (}(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3})\times (b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}){\Big )}\cdot (c_{1}\mathbf {e} _{1}+c_{2}\mathbf {e} _{2}+c_{3}\mathbf {e} _{3})=\\&=\left({\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\right)\cdot (c_{1}\mathbf {e} _{1}+c_{2}\mathbf {e} _{2}+c_{3}\mathbf {e} _{3})=\\&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{1}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}c_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

Таким образом, в ортонормированной системе координат смешанное произведение записывается в виде

$\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$