Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
[править]
(для комплексных пространств).
Определение.
, где
— это некоторое число, которое называют собственным вектором оператора А, а
- собственным значением.
- каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.
В пространстве L введём базис:
если
-матрица оператора А, то
- характеристический многочлен оператора А.
Условие наличия собственных векторов:
- хар-е ур-е (
- корни ур-я, подставляем в систему и находим собственные векторы.)
Теорема о независимости характеристического многочлена от выбора базиса. \\
Доказательство.
Свойства собственных векторов
[править]
- собственный вектор оператора А. после умножения его на любое число не равное нулю, снова получится собственный вектор.
- если
и
- два собственных вектора соответствующих собственному значению
, то любая их линейная комбинация
- будет снова собственным вектором.
- если
- характерестические корни, причём
при
, каждому соответствует собственный вектор
, то система
линейно независима.
Доказательство. Предположим противное:
- числа не все равные нулю и такие что:
для
- верно, т.к. собственный вектор не может быть нулевым.
Пусть верно для
Докажем, что верно для
:
пусть
(вычтем из
)
система из k - 1 собственных векторов линейно зависима
получили противоречие
-получили противоречие
система
линейно независима.
Оператор простой структуры
[править]
Определение. Оператором простой структуры называется оператор, из собственных векторов которого можно построить базис.
Теорема.
-базис из собственных векторов оператора А.
Доказательство. В обратную сторону:

В прямую сторону:
в базисе
матрица оператора имеет вид
- собственный вектор
- собственный вектор
- базис из собственных векторов оператора А.