Сходимость знакочередующихся рядов

Ряд $\sum \limits _{n-1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n},a_{n}\geq 0$ - называется знакочередующимся рядом

Теорема (признак Лейбница).  Дан ряд $\sum \limits _{n-1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n},a_{n}\geq 0,\forall n$. Пусть последовательность $\{a_{n}\}$ невозрастает и $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$, тогда ряд сходится и его сумма $S\leq a_{1}$

Доказательство. Рассмотрим подпоследовательность $\{S_{2n}\}$

1) $S_{2n+2}-S_{2n}=(a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\dots +a_{2n+1}-a_{2n+2})-(a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\dots -a_{2n})=a_{2n+1}-a_{2n+2}\geq 0$ так как $\{a_{n}\}$ - не возрастающая $\Rightarrow \{S_{2n}\}$ является монотонно неубывающей

2) $S_{2n}-(a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\dots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2_{n}})\geq a_{1}\forall n)\Rightarrow$ последовательность $\{S_{2n}\}$ ограничена сверху $\Rightarrow$ из 1) и 2) $\exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{2n}=S$

Докажем, что $\exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{2n-1}=S$:

$S_{2n-1}=S_{2n}+a_{2n};\{S_{2n}\}\to S$ при $n\to \infty ,\{a_{n}\}\to 0$ при $n\to \infty \Rightarrow \{a_{2n}\}\to 0$ при $n\to \infty \Rightarrow \exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{2n-1}=\lim \limits _{n\to \infty }S_{2n}-\lim \limits _{n\to \infty }a_{2n}=S\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }S_{2n-1}=S$

Из всего этого следует что $\exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}=S\Rightarrow$ данный ряд сходится и число $S$ является суммой ряда

Докажем, что $S\leq a_{1}$. Уже доказано: $S_{2n}\leq a_{1}\forall n$

$S_{2n-1}\leq a_{1}\forall n$ (аналогично началу пункта 2) ) $\Rightarrow S_{n}\leq a_{1}\forall n$ - теорема доказана