Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть $\{{x_{n}\}}$ ограниченная последовательность. Тогда $\exists m,M\in R$ : $m\leq M$ , $\forall n\in N$.

Рассмотрим множество таких вещественных чисел $x$, что правее каждого из этих $x$ лежит не более,чем конечное число элементов последовательности $\{{x_{n}\}}$. Множество таких $x$ не пусто, т.к. $M\in$ $\{{x_{n}\}}$. Кроме того, множество таких элементов ограничено снизу любым числом, меньшим $m$

$\forall x\in$ $\{{x\}}$ , $x\geq m$

${\bar {x}}=\inf\{{x\}}$ .

Докажем, что ${\bar {x}}$ является частичным пределом последовательности $\{{x_{n}\}}$. Зададим произвольное $\varepsilon >0$ ; $({\bar {x}}-\varepsilon )$ $\notin \{{x\}}$ $\Rightarrow$ правее числа $({\bar {x}}-\varepsilon )$ лежит бесконечно много элементов последовательности $\{{x_{n}\}}$. По определению $\inf \exists x:{\bar {x}}\leq x<{\bar {x}}+\varepsilon$.

По определению множества элементов правее элемента $x$ лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит, на полуинтервале (${\bar {x}}-\varepsilon ;x$] $\exists$ бесконечно много элементов последовательности.

Тем более в окрестности (${\bar {x}}-\varepsilon ;{\bar {x}}+\varepsilon$) содержится бесконечно много элементов последовательности. Это означает, что ${\bar {x}}$ - частичный предел последовательности, т.е. есть подпоследовательность, которая сходится.