Определение. Последовательность вложенных отрезков
называется последовательностью стягивающихся отрезков, если
:
.
Теорема.
Если
- последовательность стягивающихся отрезков, то
! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.
Доказательство теоремы.
,
.
Множество
ограничено сверху
Множество
ограничено снизу
,
;
;
.
Покажем, что
.
Предположим, что
. Тогда
чего быть не может.
Предположим, что
. Тогда
. Положим
.
:
. (*)
Значит,
Предположим, что
другая точка
, общая для всех отрезков: 1)
;2)
;3)
. Но пункты 2), 3) невозможны, т.к. (*).