Уравнение Дирака

Уравнение Дирака — релятивистски-инвариантное уравнение движения для би-спинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2. Установлено П. Дираком в 1928 году.

Физический смысл

Электрон, позитрон

Дираковская теория электрона (опубликованная в 1928 году), наделяет электрон релятивистскими свойствами, спином (т.е. собственным механическим моментом количества движения, равным ħ/2) и собственным магнитным моментом (равным магнетону Бора eħ/2mc).

С помощью уравнения Дирака была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода (и водородоподобных атомов), включающая тонкую структуру уровней, а также объяснён эффект Зеемана. На основе уравнения Дирака были найдены формулы для вероятностей рассеяния фотонов свободными электронами (комптон-эффекта) и излучения электрона при его торможении (тормозного излучения), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся квантовой электродинамикой.

Характерная особенность уравнения Дирака — наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что соответствует отрицательной массе частицы). Это представляло трудность для теории, так как все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в эти состояния в квантовой теории возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился в дальнейшем, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица (античастица по отношению к электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была действительно открыта в 1932 К. Андерсоном и названа позитроном. Это явилось огромным успехом теории электрона Дирака. Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход интерпретируются как процесс образования пары электрон-позитрон и аннигиляция такой пары.

Применение для других частиц

Уравнение Дирака справедливо и для др. частиц со спином 1/2 (в единицах ħ) — фермионов, например мюонов, нейтрино, при этом хорошее соответствие опыту получается при прямом применении уравнения Дирака к простым (а не составным) частицам, как те, которые только что упомянуты. Для протона и нейтрона (составных частиц, состоящих из кварков, связанных глюонным полем, но также обладающих спином 1/2) оно при прямом применении (как к простым частицам) приводит к неправильным значениям магнитных моментов: магнитный момент «дираковского» протона «должен быть» равен ядерному магнетону eħ/2Мc (М — масса протона), а нейтрона (поскольку он не заряжен) — нулю. Опыт же даёт, что магнитный момент протона примерно в 2,8 раза больше ядерного магнетона, а магнитный момент нейтрона отрицателен и по абсолютной величине составляет около 2/3 от магнитного момента протона. Аномальные магнитные моменты этих частиц обусловлены их сильными взаимодействиями.

В действительности данное уравнение применимо для кварков, которые также являются элементарными частицами со спином 1/2. Модифицированное уравнение Дирака можно использовать для описания протонов и нейтронов, которые не являются элементарными частицами (они состоят из кварков). Другую модификацию уравнения Дирака — уравнение Майорана, применяют в некоторых расширениях Стандартной модели для описания нейтрино.

Уравнение Дирака и квантовая теория поля

Уравнение Дирака описывает не амплитуду вероятности для одного электрона, как могло бы показаться, а величину, связанную с плотностью заряда и тока дираковской частицы: в силу сохранения заряда сохраняется величина, которую считали полной вероятностью нахождения частицы. Таким образом, уравнение Дирака — с самого начала многочастичное.

Теория, включающая лишь уравнение Дирака, взаимодействующее с классическим внешним электромагнитным полем, не совсем верно принимает в расчёт рождение и уничтожение частиц. Она хорошо предсказывает магнитный момент электрона и тонкую структуру линий в спектре атомов. Она объясняет спин электрона, поскольку два из четырёх решений уравнения соответствуют двум спиновым состояниям электрона. Два оставшихся решений с отрицательной энергией соответствуют античастице электрона (позитрону), предсказанной Дираком исходя из его теории и почти сразу же вслед за этим открытой экспериментально.

Несмотря на эти успехи, такая теория имеет тот недостаток, что она не описывает взаимодействие квантованного электронного поля с квантованным электромагнитным полем, в том числе и рождение/уничтожение частиц — один из фундаментальных процессов релятивистской теории взаимодействующих полей. Эта трудность разрешена в квантовой теории поля. В случае электронов — добавляется квантованное электромагнитное поле, квантование самого электронного поля и взаимодействие этих полей, а полученная теория называется квантовой электродинамикой.

Вид уравнения

Уравнение Дирака записывается в виде

$\left(mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$

где $m\$ — масса электрона (или другого фермиона, описываемого уравнением), $c\$ — скорость света, $p_{j}=-i\hbar \partial _{j}$ — три оператора компонент импульса (по x, y, z), $\hbar ={h \over 2\pi }$, $h$ — постоянная Планка, x=(x, y, z) и t пространственные координаты и время соответственно, и $\psi (\mathbf {x} ,t)$ — четырёхкомпонентная комплексная волновая функция (биспинор).

$\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$ — линейные операторы над пространством биспиноров, которые действуют на волновую функцию. Эти операторы подобраны так, что каждая пара таких операторов антикоммутирует, а квадрат каждого равен единице:

$\alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\$, где $i\neq j$ и индексы $i,j\$ меняются от 0 до 3,

$\alpha _{i}^{2}=1$ для $i\$ от 0 до 3.

В обсуждаемом представлении эти операторы представляются матрицами размера 4×4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикоммутации), называемыми альфа-матрицами Дирака

• Весь оператор в скобках в левой части уравнения называется оператором Дирака, точнее, в современной терминологии его следует называть гамильтонианом Дирака, так как оператором Дирака сейчас обычно принято называть ковариантный оператор D, с которым уравнение Дирака записывается в виде DΨ=0 (как описано в следующем замечании).

• В современной физике часто используется ковариантная форма записи уравнения Дирака (подробно см. ниже):

$\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi =0$

Природа волновой функции

Поскольку на волновую функцию ψ действуют матрицы 4×4, она должна быть четырёхкомпонентным объектом. Мы увидим в следующем параграфе, что волновая функция состоит из двух степеней свободы, одна из которых соответствует положительным энергиям, а другая отрицательным. Каждая из них имеет ещё по две степени свободы, связанные с проекцией спина на выделенное направление , условно часто обозначаемые словами «вверх» или «вниз».

Мы можем записать волновую функцию в виде столбца:

$\psi (\mathbf {x} ,t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{bmatrix}\psi _{1}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{2}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{3}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{4}(\mathbf {x} ,t)\end{bmatrix}}.$

Дуальную волновую функцию записывают в виде строки:

${\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\alpha ^{0},$

где

$\psi ^{\dagger }={\begin{bmatrix}\psi _{1}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{2}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{3}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{4}^{*}(\mathbf {x} ,t)\end{bmatrix}}$

символ * обозначает обычное комплексное сопряжение.

Как и для обычной однокомпонентной волновой функции можно ввести квадрат модуля волновой функции, который даёт плотность вероятности как функцию координаты x и времени t. В данном случае роль квадрата модуля играет скалярное произведение волновой функции и дуальной ей, то есть квадрат эрмитовой нормы биспинора:

${\bar {\psi }}\psi ={\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\psi \,(\mathbf {x} ,t)=\sum _{a,b=1}^{4}\psi _{a}^{*}(\mathbf {x} ,t)(\alpha ^{0})_{ab}\psi _{b}(\mathbf {x} ,t).$

Сохранение вероятности задаёт условие нормировки

$\int {\bar {\psi }}\psi \;d^{3}x=1.$

Привлекая уравнение Дирака можно получить «локальный» ток вероятности:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {\psi }}\psi \,(\mathbf {x} ,t)=-\nabla \cdot \mathbf {J} .$

Ток вероятности J задаётся как

$J_{j}=c{\bar {\psi }}\alpha _{j}\psi .$

Умножая J на заряд электрона e, приходим к плотности электрического тока j для электрона.

Значение компонент волновой функции зависит от координатной системы. Дирак показал как ψ преобразуется при изменении координатной системы, включая повороты в трёхмерном пространстве и преобразования между (быстро) движущимися друг относительно друга системами отсчёта. ψ при этом не преобразуется как вектор обычного пространства (или пространства-времени) при вращениях пространства или преобразованиях Лоренца (что само по себе и не удивительно, так как его компоненты изначально не связаны прямо с направлениями в обычном пространстве). Такой объект получил название четырехкомпонентного дираковского спинора (иначе называемого биспинором — последнее название связано с тем, что первоначально в качестве спиноров рассматривались только двухкомпонентные комплексные объекты, пара которых может образовать биспинор). Биспинор можно интерпретировать как вектор в особом пространстве, называемом обычно «внутренним пространством», не пересекающемся с обычным пространством. Однако, как уже было сказано выше, компоненты спинорных волновых функций преобразуются вполне определенным, хотя и отличающемся от преобразования компонент векторов обычного («внешнего») пространства образом, при преобразовании координат внешнего пространства.

Точности ради следует сказать, что можно все изменения, связанные с поворотами координат во внешнем пространстве, перенести на матрицы α (которые тогда будут выглядеть по-разному для разных внешних систем координат, но будут сохранять свои основные свойства — антикоммутации и единичности квадрата каждой), в этом случае компоненты (би-)спиноров вообще не будут меняться при поворотах внешнего пространства.

Дырочная теория

Найденные в предыдущей секции решения c отрицательными энергиями проблематичны, поскольку предполагалось, что частица имеет положительную энергию. Математически говоря, однако, кажется, нет никакой причины для нас, чтобы отклонить решения отрицательной энергии. Так как они существуют, мы не можем просто игнорировать их, как только мы включаем взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в состояние с положительной энергией перешёл бы в состояние с отрицательной энергией успешно понизив энергию, испуская лишнюю энергию в форме фотонов. Реальные электроны очевидно не ведут себя таким образом.

Чтобы справляться с этой проблемой, Дирак вводил гипотезу, известную как дырочная теория, что вакуум — это многочастичное квантовое состояние, в котором все состояния с отрицательной энергией заняты. Это описание вакуума как «море» электронов называют морем Дирака. Поскольку принцип запрета Паули запрещает электронам занимать то же самое состояние, любой дополнительный электрон был бы вынужден занять состояние с положительной энергией, и электроны с положительной энергии не будут переходить в состояния с отрицательной энергией.

Дирак далее рассуждал, что если состояния с отрицательной энергией не полностью заполнены, каждое незанятое состояние — называемое дыркой — вело бы себя как положительно заряженная частица. Отверстие обладает «положительной» энергией, так как энергия необходима для создания пары частица-дырка из вакуума. Как отмечено выше, Дирак первоначально думал, что дырка могла бы быть протоном, но Вейль указал, что дырка должна вести себя, как будто она имеет ту же самую массу как электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. Дырка была в конечном счете идентифицирована как позитрон, экспериментально обнаруженный Карлом Андерсоном в 1932.

Описание «вакуума» через бесконечное море электронов отрицательной энергии не вполне удовлетворительно. Бесконечно отрицательные вклады от моря электронов отрицательной энергии должны быть сокращены с бесконечной положительной «голой» энергией и вкладом в плотность заряда, и ток, идущий от моря электронов отрицательной энергии точно сокращается с бесконечным положительным фоном «желе» так, чтобы полная электрическая плотность заряда вакуума равнялась нулю. В квантовой теории поля, преобразование Боголюбова операторов рождения и уничтожения (превращающий занятое электронное состояние с отрицательной энергией в незаполненное позитронное состояние с положительной энергией и незанятое электронное состояние с отрицательной энергией в занятое позитронное состояние с положительной энергией) позволяет нам обходить формализм моря Дирака даже при том, что, формально, эти подходы эквивалентны.

В определенных применениях в физике твёрдого тела, однако, основные понятия «дырочной теории» являются корректными. Море электронов проводимости в проводнике, называют морем Ферми, содержит электроны с энергиями до химического потенциала системы. Незаполненные состояние в море Ферми ведут себя как положительно-заряженный электроны, хотя это «дырка», а не «позитрон». Отрицательный заряд моря Ферми уравновешен положительно-заряженной ионной решеткой материала.

Электромагнитное взаимодействие

До сих пор мы рассматривали электрон, на который не действуют никакие внешние поля. По аналогии с гамильтонианом заряженной частицы в классической электродинамике, мы можем изменить гамильтониан Дирака так, чтобы включить эффект электромагнитного поля. Переписанный гамильтониан — (в единицах СИ):

$H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\left[p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x} ,t)\right]c+e\varphi (\mathbf {x} ,t)$

где e — электрический заряд электрона (здесь принято соглашение, что знак e отрицателен), а A и φ — электромагнитные векторный и скалярный потенциалы, соответственно.

Полагая φ = 0 и работая в нерелятивистском пределе, Дирак, нашёл для двух верхних компонент в положительной области энергий волновые функции (которые, как обсуждено ранее, являются доминирующими компонентами в нерелятивистском пределе):

$\left({\frac {1}{2m}}\sum _{j}|p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x} ,t)|^{2}-{\frac {\hbar e}{2mc}}\sum _{j}\sigma _{j}B_{j}(\mathbf {x} )\right){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}$
 $=(E-mc^{2}){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}$

где B = $\nabla$× A — магнитное поле действующее на частицу. Это уравнение Паули для нерелятивистских частиц с полуцелым спином, с магнитным моментом $\hbar e/2mc$ (то есть, g-фактор равняется 2). Фактический магнитный момент электрона больше чем это значение, хотя только примерно на 0,12 %. Несоответствие происходит из-за квантовых колебаний в электромагнитного поля, которыми пренебрегли. См. вершинная функция.

В течение нескольких лет после открытия уравнения Дирака, большинство физиков полагало, что оно также описывает протон и нейтрон, которые являются фермионами с полуцелым спином. Однако, начинаясь с экспериментов Стерна и Фриша в 1933, найденные магнитные моменты этих частиц не совпадают значительно с предсказанными из уравнения Дирака значениями. Протон имеет магнитный момент, в 2.79 раза больший чем предсказанный (с протонной массой, вставленной для m в вышеупомянутые формулы), то есть, g-фактор равен 5.58. Нейтрон, который является электрически нейтральным, имеет g-фактор−3.83 . Эти «аномальные магнитные моменты» были первым экспериментальным признаком, что протон и нейтрон не элементарные (а составные или, говоря более общим образом, имеющие некоторую внутреннюю структуру) частицы. Впоследствии оказалось, что их можно считать состоящими из меньших частиц, названных кварками, связанными, как полагают, глюонным полем. Кварки имеют полуцелый спин и, насколько известно, точно описываются уравнением Дирака.

Литература

• Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
• Bjorken, J D & Drell, S, Relativistic Quantum mechanics
• Thaller, B., The Dirac Equation, Texts and Monographs in Physics (Springer, 1992)
• Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 3rd edition (McGraw-Hill, 1955)
• П.А.М Дирак Релятивисткое волновое уравнение электрона(рус.) // Успехи физических наук. — 1979. — В. 4. — Т. 129. — С. 681-691.
• Уравнение Дирака в «Физической энциклопедии»

Избранные статьи

• P.A.M. Dirac «The Quantum Theory of the Electron», Proc. R. Soc. A117 610 (1928) link to the volume of the Proceedings of the Royal Society of London containing the article at page 610
• P.A.M. Dirac «A Theory of Electrons and Protons», Proc. R. Soc. A126 360 (1930) link to the volume of the Proceedings of the Royal Society of London containing the article at page 360
• C.D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)
• R. Frisch and O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)

Ссылки

Лекции по квантовой физике