Дифференцируемость[править]
Определение.
называется
дифференцируемой в точке
, если
.
Пример.
Пример.
Этот предел не существует, так как если брать
вида
, то есть только действительная часть, то
;
если брать
вида
, то
.
Определение.
.
называется
-дифференцируемой в точке
, если:
Теорема.
''
-дифференцируема в точке
тогда и только тогда, когда:
-дифференцируема в точке
;
- выполняются условия Коши Римана:
Доказательство.
-дифференцируема тогда и только тогда, когда
Следовательно:
Видно,что:
,
то есть:
Пример. (выполнены условия Коши–Римана, но нет
-дифференцируемости)
Возьмём функцию
,где
функция, на действительной и мнимой осях равная
, а вне их равная
, а
. Возьмём точку
:
Условия КошиРимана выполняются, но
не
-дифференцируема, так как разрывна.
Замечание.
-дифференцируемость в точке
влечёт за собой непрерывность в точке
.
Правила дифференцирования[править]
![{\textstyle {(f\pm g)^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba45cbba79e2810a69c9e283298d41844b430745)
![{\textstyle {(\alpha f)^{\prime }=\alpha f^{\prime }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0678ae1fdfe8f59659e76a3ffb34d0789e0efb4c)
![{\textstyle (gf)^{\prime }=f^{\prime }g+fg^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2cc9cd1b6d53fc8fdec6e91fc29fe95cf201df)
![{\textstyle {\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {fg-gf}{g^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2556114bacaef02a0509af74ab0dd48946a3aa52)
![{\textstyle {\left(f\left(g\left(z_{0}\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(z_{0}\right)\right)g^{\prime }\left(z_{0}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78c0d1933087dd5f32aba79d5a31cabd851ba69)
![{\textstyle {\left(f^{-1}\right)\left(z_{0}\right)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(z_{0}\right)\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3634e7dd848aa6c99b00a0e5f2d7e538f77a9ee2)
Пример. Рассмотрим функцию
:
-дифференцируемость в любой точке очевидна, проверим условия Коши Римана:
Итак, экспонента
-дифференцируема. Найдём её производную
.
Экспонента
-дифференцируема, значит, этот предел одинаков по всем направлениям, в частности, по чисто действительному направлению
:
Значит,
, и, вообще, если
-дифференцируема в точке
, то
Пример. Вычислим производные синуса и косинуса:
Пример. (Функция, которая
-дифференцируема везде, кроме нуля, а в нуле выполняются условия Коши-Римана)
Значит,
Теорема. (Лумана-Меньшова, без доказательства):
область,
непрерывна в
и удовлетворяет условиям Коши Римана в
. Тогда
-дифференцируема в
.
Условия Коши-Римана в комплексной форме[править]
Введём такие обозначения:
Запишем производную
:
не существует, поэтому это возможно только если
. Это и есть условие Коши Римана в комплексной форме.
Голоморфные функции[править]
Определение.
называется голоморфной (аналитической) в точке
, если она
-дифференцируема в точке
.
Определение.
, определённая в области
, называется голоморфной (аналитической) в области
, если она
-дифференцируема во всех точках
. Голоморфность в области
обозначается так:
или
.
Утверждение.
область,
и
.
Тогда
Доказательство. *пока нет*
Голоморфность в бесконечности[править]
Определение.
.
, если
Пример.
в точке
.
голоморфна в точке
, значит, и
голоморфна в точке
.
Определение.
называется голоморфной в бесконечности, если
. Голоморфность
в бесконечности обозначается:
.
Пример.
, значит,
Пример.
, значит,
Конформность голоморфных отображений[править]
Определение.
–
-дифференцируема в точке
.
конформна в точке
, если дифференциал
обладает свойствами сохранения ориентированных углов и постоянства расстояния, то есть матрица Якоби
ортогональная матрица с положительным определителем.
Примечание. В этом курсе лекций мы называем матрицу ортогональной, если её столбцы как векторы ортогональны; определитель не обязательно равен 1.
Утверждение.
конформно в точке
-дифференцируема в точке
и
.
Доказательство.
конформно в точке
-дифференцируема
![{\textstyle \left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\{b}&{a}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163c65edc44f9a252f7331ec33ef7c9fb51e299c)
![{\textstyle a^{2}+b^{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c9fd531c74424751b9e9c689213445e2ac2469)
![{\textstyle \left({\begin{array}{ll}{u_{x}}&{u_{y}}\\{v_{x}}&{v_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\{b}&{a}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163c65edc44f9a252f7331ec33ef7c9fb51e299c)
выполняются условия Коши Римана
-дифференцируема
![{\textstyle u_{x}^{2}+v_{x}^{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b3defab3783009978eda874b164bb811bfa109)
Значит,
и
.
Геометрический смысл производной[править]
коэффициент растяжения бесконечно малых векторов
угол, на который поворачиваются бесконечно малые вектора
Определение.
голоморфна в области ![{\textstyle D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5200f518cb5afe304ec42ffdd4f6c63c702f77)
,
конформна в точке
.
В
много конформных отображений.
Теорема. (Лиувилль, без доказательства)
область в
,
конформна в любой точке из
. Тогда
является композицией параллельного переноса, инверсии, поворота и гомотетии.