Участник:Isbur/Некоторые задачи аналитической механики

http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/index.htm - здесь представлен задачник Т.В. Сальниковой и К.Е. Якимовой по курсу аналитической механики.

Глава 3

Задача 3.1

Условие

Маятник состоит из жёсткого стержня длиной 𝑙, несущего массу 𝑚 на своём конце. К стержню прикреплены две пружины жёсткости 𝑐 на расстоянии 𝑎 от его

верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.

Решение

$T={\frac {mv^{2}}{2}}$
$V=2{\frac {k(\Delta x)^{2}}{2}}-mgy$

$\Delta x$ - удлинение пружины

$v={\dot {\phi }}$
$y=l\cos(\phi )$
$\Delta x=a\sin(\phi )$

$L=T-V={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2}+mgl\cos \phi -ka^{2}\sin ^{2}\phi$
${\tilde {L}}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}mgl\phi ^{2}-ka^{2}\phi ^{2}$
$\omega ^{2}={\frac {{\frac {1}{2}}mgl+ka^{2}}{{\frac {1}{2}}ml^{2}}}={\frac {g}{l}}+{\frac {2ka^{2}}{ml^{2}}}$
$\omega =2\pi \nu ={\frac {2\pi }{T}}$
$T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi }{\sqrt {{\frac {g}{l}}+{\frac {2ka^{2}}{ml^{2}}}}}}$
Ответ: $T={\frac {2\pi }{\sqrt {{\frac {g}{l}}+{\frac {2ka^{2}}{ml^{2}}}}}}$

Задача 3.2

Условие

Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так,что масса 𝑚 расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.

Решение

$y=-l\cos(\phi )$ (против $y=l\cos(\phi )$ в предыдущей задаче)
$V=mgl\cos \phi +ka^{2}\sin ^{2}\phi$
${\tilde {L}}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}mgl\phi ^{2}+ka^{2}\phi ^{2}$
$\omega ^{2}=-{\frac {g}{l}}+{\frac {2ka^{2}}{ml^{2}}}$
$T={\frac {2\pi }{\sqrt {-{\frac {g}{l}}+{\frac {2ka^{2}}{ml^{2}}}}}}$
Ответ: $T={\frac {2\pi }{\sqrt {-{\frac {g}{l}}+{\frac {2ka^{2}}{ml^{2}}}}}}$

Задача 3.3

Условие

Цилиндр диаметром d и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жёсткости с прикреплены посередине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.

Решение

$V={\frac {d}{2}}{\dot {\varphi }}$

$I={\frac {md^{2}}{8}}$

$T={\frac {m}{2}}v^{2}+{\frac {I{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}={\frac {m}{2\cdot 4}}d^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\frac {md^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}{16}}={\frac {3}{16}}md^{2}{\dot {\varphi }}^{z}$

$\Delta \ell =\Delta x\cos \alpha =\left({\frac {d}{2}}+a\right)\varphi$

$\Pi =2\cdot {\frac {c{\Delta \ell }^{2}}{2}}=c\varphi ^{2}\left({\frac {d}{2}}+a\right)^{2}$

$L={\frac {3}{16}}md^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-c\varphi ^{2}\left({\frac {d}{2}}+a\right)^{2}$

$\omega ^{2}={\frac {c\left({\frac {d}{2}}+a\right)^{2}}{{\frac {3}{16}}md^{2}}}={\frac {16c\left({\frac {1}{2}}+{\frac {a}{d}}\right)^{2}}{3m}}$

$\omega ={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\frac {c}{m}}}{\frac {d/2+a}{d}}=4{\sqrt {\frac {c}{3m}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {a}{d}}\right)={\sqrt {\frac {4c}{3m}}}\left(1+{\frac {2a}{d}}\right)$

$\tau =2\pi /\omega =\pi {\sqrt {\frac {3m}{c}}}{\frac {1}{1+2a/d}}$

Ответ

$\tau =\pi {\sqrt {\frac {3m}{c}}}{\frac {1}{1+2a/d}}$

Задача 3.4

Условие

Неоднородный диск радиуса R и массы М, центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

Решение

$K={\frac {m}{2}}(R-a)^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\frac {J{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}$

$\Pi =\operatorname {mga} (1-\cos \varphi )\approx \operatorname {mga} {\frac {\varphi ^{2}}{2}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {mga}{m(R-a)^{2}+J}}}$

$\varphi (t)=c_{1}\cos {\sqrt {\frac {mga}{m(R-a)^{2}+J}}}t+c_{2}\sin {\sqrt {\frac {mga}{m(R-a)^{2}+J}}}t$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m(R-a)^{2}+J}{mga}}}$

Задача 3.6

Условие

Определить период малых колебаний однородного полудиска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.

Решение

Ищем центр масс

${\begin{cases}x_{c}=r\cos \varphi \\y_{c}=r\sin \varphi \end{cases}}$

$x_{c}=0$

$y_{c}={\frac {\int ydm}{m}}={\frac {\int ydS}{S}}={\frac {\int _{0}^{R}r^{2}dr\int _{0}^{\pi }\sin \varphi d\varphi }{\pi {\frac {R^{2}}{2}}}}={\frac {4R}{3\pi }}$

$p={\frac {4R}{3\pi }}$

Моменты инерции

$J=J_{T}+md^{2}$

$J_{S}={\frac {1}{2}}mR^{2}$

$J_{S}=J_{T}+mp^{2}$

$J_{H}=J_{T}+m(r-p)^{2}$

${\begin{array}{c}{J_{H}=J_{S}-mp^{2}+mr^{2}-2mrp+mp^{2}}\\{J_{H}=J_{S}+mr^{2}-2mrp={\frac {1}{4}}mr^{2}+mr^{2}-2mr{\frac {4r}{3\pi }}}\\{J_{H}=mr^{2}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {8}{3\pi }}\right)}\end{array}}$

Энергии

$h=p-p\cos \alpha _{0}\doteq p\left(1-\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)\right)={\frac {2r\alpha ^{2}}{3\pi }}$

$V=mgh={\frac {2mgr\alpha ^{2}}{3\pi }}$

$T={\frac {1}{2}}J_{H}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}mr^{2}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {8}{3\pi }}\right)\omega ^{2}$

${\frac {1}{2}}mr^{2}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {8}{3\pi }}\right)\omega ^{2}=mg{\frac {2r}{3\pi }}$

${\begin{array}{c}{\omega ^{2}={\frac {4g}{3\pi r\left({\frac {3}{2}}-{\frac {8}{3\pi }}\right)}}}\\{\omega ^{2}={\frac {8g}{r(9\pi -16)}}}\end{array}}$

${\begin{array}{l}{T=2\pi {\sqrt {\frac {r(9\pi -16)}{8g}}}}\\{T=\pi {\sqrt {\frac {r(9\pi -16)}{2g}}}}\end{array}}$

Задача 3.8

Условие

Три нити связаны в точке С: две из них перекинуты через небольшие неподвижные блоки А и В, расположенные на одной горизонтали, и несут на концах равные грузы m₁; к концу третьей нити подвешен груз с массой m₂, причём m₂ < 2m₁. Найти период малых колебаний этой системы около положения равновесия, если СА = СВ = а, считая, что грузы могут двигаться только по вертикали.

Решение

$V=2m_{1}ga\sin \alpha _{0}(\sin \alpha _{0}-\sin \alpha )-m_{2}ga\sin \alpha _{0}\left(\sin \alpha _{0}-\sin \alpha \right)$

$V=\left(2m_{1}-m_{2}\right)g\cdot a\sin \alpha _{0}\left(\sin \alpha _{0}-\sin \alpha \right)$

${\frac {\partial V}{\partial q}}={\frac {\partial V}{\partial \alpha }}=-\left(2m_{1}-m_{2}\right)g\cdot a\sin \alpha _{0}\cos \alpha =0$

$\alpha =\left\{{\begin{array}{c}{\pi /2}{\text{- уст.}}\\{-\pi /2}{\text{- неуст.}}\end{array}}\right.$

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial q^{2}}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \alpha ^{2}}}=\left(2m_{1}-m_{2}\right)g\cdot a\cdot \sin \alpha _{0}\cdot \sin \alpha$

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial \alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)>0$

- устойчивое положение равновесия;

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial \alpha ^{2}}}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)<0$

- неустойчивое.

$T={\frac {1}{2}}J_{1}w^{2}+{\frac {1}{2}}J_{2}w^{2}$

${\vec {\omega }}={\dot {\alpha }}{\vec {e_{z}}}$

$T={\frac {1}{2}}m_{2}a^{2}{\dot {\alpha }}^{2}+{\frac {2m_{1}}{2}}a^{2}{\dot {\alpha }}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2m_{1}+m_{2}\right)a^{2}{\dot {\alpha }}^{2}$

$\omega ={\sqrt {\frac {\left(2m_{1}-m_{2}\right)ga\sin \alpha _{0}}{2m_{2}{\frac {1}{2}}a^{2}}}}={\sqrt {\frac {\left(2m_{1}-m_{2}\right)g\sin \alpha _{0}}{m_{2}a}}}$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{2}a}{\left(2m_{1}-m_{2}\right)g\sin \alpha _{0}}}}$

Задача 3.9

Условие

Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин l и 2l с углом ${\frac {\pi }{2}}$, может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний системы около положения равновесия.

Решение

$T={\frac {J_{1}\omega ^{2}}{2}}+{\frac {J_{2}\omega ^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(J_{1}+J_{2}\right){\dot {\varphi }}^{2}$

$J_{1}={\frac {1}{3}}ml^{2}$

$J_{2}={\frac {2m(2l)^{2}}{3}}={\frac {8}{3}}ml^{2}$

$T={\frac {3}{2}}ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}$

${\frac {\partial \Pi }{\partial q}}=cq$

$y_{1}=-{\frac {l}{2}}\cos \psi$

$y_{2}=l\sin \psi$

$x_{E}={\frac {l}{6}}(\sin \psi +4\cos \psi )$

$y_{E}={\frac {l}{6}}(4\sin \psi -\cos \psi )=0$

$\cos \psi =4\sin \psi$

$1-\sin ^{2}\psi =16\sin ^{2}\psi$

$\sin \psi ={\frac {1}{\sqrt {17}}}$

$x_{E}={\frac {17}{6}}l\sin \psi ={\frac {\sqrt {17}}{6}}l$

$\Pi =-3mgx_{E}\cos \varphi$

${\frac {\partial \Pi }{\partial \varphi }}=3mgx_{E}\sin \varphi \approx 3mgx_{E}\varphi$

$\tau =2\pi {\sqrt {\frac {6l}{g{\sqrt {17}}}}}=2\pi {\frac {\sqrt {6}}{\sqrt[{4}]{17}}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Задача 3.14

Условие

Найти период малых колебаний около устойчивого положения равновесия тяжёлого однородного стержня ОА длины I и массы т, который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О и к концу А которого прикреплена пружина АВ. Пружина закреплена в точке В, расположенной на расстоянии I над точкой О. Длина нерастянутой пружины I, коэффициент её жёсткости с.

Решение

${\frac {l+\Delta l}{\sin \varphi }}={\frac {l}{\cos {\frac {\varphi }{2}}}}$

$l+\Delta l=2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cdot l$

$\Delta l=\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}-1\right)\cdot l$

$V=mg{\frac {l}{2}}\cos \varphi +{\frac {1}{2}}cl^{2}\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}-1\right)^{2}$

${\frac {\partial V}{\partial \varphi }}=-mg{\frac {l}{2}}\sin \varphi +{\frac {1}{2}}cl^{2}\cdot 2\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}-1\right)2\cdot {\frac {1}{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}=-mg{\frac {l}{2}}\sin \varphi +cl^{2}\sin \varphi -cl^{2}\cos {\frac {\varphi }{2}}$

${\frac {\partial V}{\partial \varphi }}=0$

${\frac {\partial V}{\partial \varphi }}=-mg{\frac {l}{2}}2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}+cl\left(2\sin {\frac {\varphi }{2}}-1\right)\cos {\frac {\varphi }{2}}=0$

$\cos {\frac {\varphi }{2}}\left(-mgl\sin {\frac {\varphi }{2}}+2cl\sin {\frac {\varphi }{2}}-cl\right)=0$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}=0\quad {\frac {\varphi }{2}}={\frac {\pi }{2}}\quad \varphi =\pi$

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}={\frac {l}{2}}((2cl-mg)\cos \varphi +cl^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\sin {\frac {\varphi }{2}}={\frac {l}{2}}\left((2cl-mg)\cos \varphi +cl\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)=0$

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}={\frac {l}{2}}\left(2cl-mg+cl\right)={\frac {l}{2}}(mg-cl)$

$mg>cl$

$T={\frac {1}{2}}{\frac {ml^{2}}{3}}{\dot {\phi }}^{2}$

$\omega ^{2}={\frac {{\frac {l}{2}}(mg-cl)}{{\frac {1}{3}}ml^{2}}}={\frac {3(mg-cl)}{2ml}}$

$\tau =2\pi {\sqrt {\frac {2ml}{3(mg-cl)}}}$

Другой случай:

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}={\frac {l}{2}}\left((2cl-mg)\left(1-2{\frac {c^{2}l^{2}}{(2cl-mg)^{2}}}\right)+{\frac {c^{2}l^{2}}{2cl-mg}}\right)={\frac {l}{2}}(2cl-mg-{\frac {c^{2}l^{2}}{2cl-mg}})={\frac {1}{2}}{\frac {(2cl-mg-cl)(2cl-mg+cl)}{2cl-mg}}=$

$={\frac {1}{2}}{\frac {(cl-mg)(3cl-mq)}{2cl-mg}}$

$\omega ^{2}={\frac {{\frac {l}{2}}{\frac {(cl-mg)(3cl-mq)}{2cl-mg}}}{\frac {ml^{2}}{3}}}={\frac {3(cl-mg)(3cl-mg)}{2ml(2cl-mg)}}$

$\tau =2\pi {\sqrt {\frac {2ml(2cl-mg)}{3(cl-mg)(3cl-mg)}}}$

$mg<cl$

Задача 3.16

Условие

Тяжёлая квадратная платформа ABCD массы М подвешена на четырёх упругих канатах, жёсткости с каждый, к неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии I по вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы (точки А, В, С, D перемещаются только вертикально).

Решение

$OE=\ell$

$AC=a$

$l_{0}={\sqrt {l^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}$

$V=-Mgy+{\frac {4\ell }{2}}\left({\sqrt {y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}-{\tilde {\ell }}\right)^{2}=-Mgy+2C(y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}-2{\tilde {\ell }}{\sqrt {y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}+{\tilde {\ell }}^{2})$

$V'_{0}=-Mg+4cy-{\frac {4c{\tilde {\ell }}\ell }{\ell _{0}}}=0$

${\tilde {\ell }}={\frac {(4c\ell -Mg)l_{0}}{4c\ell }}$

$V''=4\ell -4c{\tilde {\ell }}\left({\frac {{\sqrt {y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}-y{\frac {y}{\sqrt {y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}}}{y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}\right)=4\ell -4c{\tilde {\ell }}{\frac {a^{2}}{4}}{\frac {1}{\left(y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}}=4\ell -c{\tilde {\ell }}a^{2}{\frac {1}{\left(y^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}}=$

$V''(0)=4\ell -c{\tilde {\ell }}a^{2}{\frac {1}{\ell _{0}^{3}}}=c\left(4-{\frac {a^{2}}{\ell _{0}^{2}}}\left(1-{\frac {Mg}{4c\ell }}\right)\right)=4c-\left(c-{\frac {Mg}{4\ell }}\right){\frac {a^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {16cll_{0}^{2}-4a^{2}cl+Mga^{2}}{4ll_{0}^{2}}}={\frac {4cl\left(4l^{2}+a^{2}\right)-4a^{2}cl+Mga^{2}}{4ll_{0}^{2}}}={\frac {16cl^{3}+Mga^{2}}{4ll_{0}^{2}}}={\frac {16cl^{3}+Mga^{2}}{l\left(4l^{2}+a^{2}\right)}}$

$T={\frac {1}{2}}M{\dot {y}}^{2}$

$\tau =2\pi {\sqrt {\frac {Ml\left(4l^{2}+a^{2}\right)}{16cl^{3}+Mga^{2}}}}$

Задача 3.21

Условие

Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой т и длиной I расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии h (0 < h < /), соединены между собой пружиной жёсткости с; пружина не натянута, когда маятники занимают вертикальное положение. Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса маятников, если в начальный момент один из них отклонён от вертикали на угол а, а начальные скорости равны нулю.

Решение

$V=mgy_{A_{1}}+mgy_{A_{2}}+{\frac {c}{2}}\left(L-L_{0}\right)^{2}$

$V=-mgl\left(\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}\right)+{\frac {c}{2}}\left({\sqrt {(l_{0}-h\sin \varphi _{1}+h\sin \varphi _{2})^{2}+\left(h\cos \varphi _{1}-h\cos \varphi _{2}\right)^{2}}}-L_{0}\right)^{2}$

$(\varphi _{1},\varphi _{2})=(0,0)$

${\sqrt {(L_{0}-h\varphi _{1}+h\varphi _{2})^{2}+h^{2}\left(-{\frac {\varphi _{1}^{2}}{2}}+{\frac {\varphi _{2}^{2}}{2}}\right)^{2}}}-L_{0}\approx L_{0}-h\varphi _{1}+h\varphi _{1}-L_{0}=-h\varphi _{1}+h\varphi _{2}$

$V=-mgl\left(1-{\frac {\varphi _{1}^{2}}{2}}+1-{\frac {\varphi _{2}^{2}}{2}}\right)+{\frac {c}{2}}h^{2}\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)^{2}+o\left(\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}\right)$

$V\left(\varphi _{1},\varphi _{2}\right)=V(0,0)+{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{1}}}(0,0)\varphi _{1}+{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{2}}}(0,0)\varphi _{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{1}^{2}}}(0,0)\varphi _{1}^{2}+2{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{1}\partial \varphi _{2}}}\left(0,0\right)\varphi _{1}\varphi _{2}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{2}^{2}}}(0,0)\varphi _{2}^{2}\right)$

$B\left(\varphi _{1},\varphi _{2}\right)=\left({\begin{array}{lc}mgl+ch^{2}&-ch^{2}\\-ch^{2}&mgl+ch^{2}\end{array}}\right)$

$T=T_{1}+T_{2}={\frac {ml^{2}}{2}}\left({\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\right)$

$A=\left({\begin{array}{cc}ml^{2}&0\\0&ml^{2}\end{array}}\right)$

$\det \left(B-A\omega ^{2}\right)=\left|{\begin{array}{lc}mgl+ch^{2}-ml^{2}w^{2}&-ch^{2}\\-ch^{2}&mgl+ch^{2}-ml^{2}\omega ^{2}\end{array}}\right|=mgl+ch^{2}-ml^{2}\omega ^{2}-\left(ch^{2}\right)^{2}=\left(mgl+ch^{2}-ml^{2}w^{2}\right)^{2}-\left(ch^{2}\right)^{2}=0$

$w_{1}^{2}={\frac {mgl+2ch^{2}}{ml^{2}}}={\frac {g}{e}}+{\frac {2ch^{2}}{ml^{2}}}$

$w_{2}^{2}={\frac {g}{l}}$

$B\left(\varphi _{1},\varphi _{2}\right)=\left({\begin{array}{lc}-ch^{2}&-ch^{2}\\-ch^{2}&-ch^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}u_{1}\\u_{2}\end{array}}\right)$

${\vec {u_{1}}}=\left({\begin{array}{l}1\\-1\end{array}}\right)$

${\vec {u_{2}}}=\left({\begin{array}{l}1\\1\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right)C_{1}\sin {\sqrt {{\frac {g}{l}}+{\frac {2ch^{2}}{ml^{2}}}}}t+D_{1}\cos {\sqrt {{\frac {g}{l}}+{\frac {2ch^{2}}{ml^{2}}}}}t+\left({\begin{array}{l}1\\1\end{array}}\right)(C_{2}\sin {\sqrt {\frac {g}{l}}}t+D_{2}\cos {\sqrt {\frac {g}{l}}}t)$

$\varphi _{1}(0)=\varphi _{0}$

$\varphi _{2}(0)=\varphi _{0}$

${\dot {\varphi }}_{1}(0)=0$

${\dot {\varphi }}_{2}(0)=0$

$\left({\begin{array}{c}\varphi _{0}\\-\varphi _{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}1\\-1\end{array}}\right)D_{1}+\left({\begin{array}{l}1\\1\end{array}}\right)D_{2}$

$\left\{{\begin{array}{l}D_{1}+D_{2}=\varphi _{0}\\-D_{1}+D_{2}=-\varphi _{0}\end{array}}\right.$

$2D_{2}=0$

$D_{2}=0$

$D_{1}=\varphi _{0}$

$\left({\begin{array}{l}0\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right)c_{1}w_{1}+\left({\begin{array}{l}1\\1\end{array}}\right)c_{2}w_{2}$

$\left\{{\begin{array}{c}{c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}=0}\\{-cw_{1}+c_{2}w_{2}=0}\end{array}}\right.$

$C_{1}=C_{2}=0$

Задача 3.27

Условие

Два груза массы т каждый, соединённые между собой пружиной жёсткости с, а с неподвижными стенками пружинами жёсткости 2с каждая, могут скользить по гладкой горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математический маятник массы ${\frac {m}{2}}$и длины l. Найти малые колебания системы. При вычислениях положить $c={\frac {mg}{2l}}$.

Решение

$x_{1}-l\sin \varphi _{1}\approx x_{1}-l\varphi _{1}$

$v={\dot {x}}_{1}-l{\dot {\varphi }}_{1}$

$K={\frac {m{\dot {x}}_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m}{4}}\left({\dot {x}}_{1}-l{\dot {\varphi }}_{1}\right)^{2}+{\frac {m{\dot {x}}_{2}^{2}}{2}}+{\frac {m}{4}}\left({\dot {x}}_{2}-\ell {\dot {\varphi }}_{2}\right)^{2}$

$\Pi ={\frac {2c}{2}}x_{1}^{2}+{\frac {c}{2}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+{\frac {2c}{2}}x_{2}^{2}+{\frac {m}{4}}g\ell \left(\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}\right)={\frac {3c}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-cx_{1}x_{2}+{\frac {m}{4}}gl\left(\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}\right)$

$L=K-\Pi$

${\begin{array}{l}{{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{1}}}={\frac {3m{\dot {x}}_{1}}{2}}-{\frac {m}{2}}l{\dot {\varphi }}_{1}}\\{{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}=-3cx_{1}+cx_{2}}\\{{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{2}}}={\frac {3m{\dot {x}}_{2}}{2}}-{\frac {m}{2}}l{\dot {\varphi }}_{2}}\end{array}}$

${\frac {\partial L}{\partial {x_{2}}}}=-3cx_{2}+cx_{1}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}_{1}}}={\frac {ml}{2}}\left(\ell {\dot {\varphi }}_{1}-{\dot {x}}_{1}\right)$

${\frac {\partial L}{\partial \varphi _{1}}}=-{\frac {m}{2}}gl\varphi _{1}$

${\begin{array}{l}{{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}_{2}}}={\frac {m\ell }{2}}\left(\ell {\dot {\varphi }}_{2}-{\dot {x}}_{2}\right)}\\{{\frac {\partial L}{\partial \varphi _{2}}}=-{\frac {m}{2}}gl\varphi _{2}}\end{array}}$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$

$c={\frac {mg}{2l}}$

$3{\ddot {x}}_{1}-l{\ddot {\varphi }}_{1}+{\frac {3g}{l}}x_{1}-{\frac {g}{l}}x_{2}=0$

$3x_{2}-l{\ddot {\varphi }}_{2}+{\frac {3g}{l}}x_{2}-{\frac {g}{l}}x_{1}=0$

$\ell {\ddot {\varphi }}_{1}-{\ddot {x}}_{1}+{\frac {g}{\ell }}\cdot l\varphi _{1}=0$

$\ell {\ddot {\varphi }}_{2}-{\ddot {x}}_{2}+{\frac {g}{\ell }}\cdot l\varphi _{2}=0$

$A{\ddot {q}}+Cq=0$

$q=\left({\begin{array}{l}{x_{1}}\\{l\varphi _{1}}\\{x_{2}}\\{l\varphi _{2}}\end{array}}\right)$

$A=\left({\begin{array}{cccc}{3}&{-1}&{0}&{0}\\{-1}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{3}&{-1}\\{0}&{0}&{-1}&{1}\end{array}}\right)$

$C={\frac {g}{l}}\left({\begin{array}{cccc}{3}&{0}&{-1}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{-1}&{0}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}}\right)$

$\det \left({\begin{array}{cccc}{3-3\lambda }&{\lambda }&{-1}&{0}\\{\lambda }&{1-\lambda }&{0}&{0}\\{-1}&{0}&{3-3\lambda }&{\lambda }\\{0}&{0}&{\lambda }&{1-\lambda }\end{array}}\right)=0$

$\lambda _{1}={\frac {g}{2l}},\quad \lambda _{2}={\frac {2g}{\ell }}$

$\lambda _{3,4}={\frac {7\pm {\sqrt {17}}}{4}}{\frac {g}{l}}$

$u_{1}=\left({\begin{array}{l}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{array}}\right)$

$u_{2}=\left({\begin{array}{c}{1}\\{-2}\\{1}\\{-2}\end{array}}\right)$

$u_{3}=\left({\begin{array}{c}{2}\\{{\sqrt {17}}+1}\\{-2}\\{-{\sqrt {17}}-1}\end{array}}\right)$

$u_{4}=\left({\begin{array}{c}{2}\\{1-{\sqrt {17}}}\\{-2}\\{{\sqrt {17}}-1}\end{array}}\right)$

${\begin{aligned}\left({\begin{array}{c}{x_{1}}\\{l\varphi _{1}}\\{x_{2}}\\{\ell \varphi _{2}}\end{array}}\right)=&\left({\begin{array}{r}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{array}}\right)\left(C_{1}\cos {\sqrt {\frac {g}{2l}}}t+C_{2}\sin {\sqrt {\frac {g}{2l}}}t\right)+\left({\begin{array}{r}{1}\\{-2}\\{1}\\{-2}\end{array}}\right)\left(C_{3}\cos {\sqrt {\frac {2g}{\ell }}}t+C_{4}\sin {\sqrt {\frac {2g}{\ell }}}t\right)+\\&\left({\begin{array}{c}{2}\\{1+{\sqrt {17}}}\\{-2}\\{-{\sqrt {17}}-1}\end{array}}\right)\left(C_{5}\cos {\sqrt {{\frac {7-{\sqrt {17}}}{4}}{\frac {g}{\ell }}}}t+C_{6}\sin {\sqrt {{\frac {7{\sqrt {17}}}{4}}{\frac {g}{\ell }}}}t\right)+\\&\left({\begin{array}{c}{2}\\{1-{\sqrt {17}}}\\-2\\{{\sqrt {17}}-1}\end{array}}\right)\left(C_{7}\cos {\sqrt {{\frac {7+{\sqrt {17}}}{4}}{\frac {q}{\ell }}}}t+C_{8}\sin {\sqrt {{\frac {7+{\sqrt {17}}}{4}}{\frac {q}{\ell }}}}t\right)\end{aligned}}$

Задача 3.28

Условие

Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня $O_{1}O_{2}$ длины 2а и массы т₁, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О₁, и из однородного прямолинейного стержня АВ массы т₂, шарнирно соединённого в своём центре масс с концом O₂ первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О₁O₂ отклонён на угол φ₀ от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω₀.

Решение

$K_{1}={\frac {I{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}\cdot (2a)^{2}}{3}}\cdot {\frac {{\dot {\varphi }}^{2}}{2}}={\frac {2}{3}}ma^{2}{\dot {\varphi }}^{2}$

$K_{2}={\frac {m_{2}}{2}}(2a{\dot {\varphi }})^{2}+{\frac {1}{12}}m_{2}(2l)^{2}\cdot {\frac {{\dot {\psi }}^{2}}{2}}$

$\Pi =m_{1}ga(1-\cos \varphi )+m_{2}g\cdot 2a(1-\cos \varphi )\approx \left(m_{1}+2m_{2}\right)ga\cdot {\frac {\varphi ^{2}}{2}}$

$L=\left({\frac {2}{3}}m_{1}a^{2}+2m_{2}a^{2}\right){\dot {\varphi }}^{2}+{\frac {1}{6}}m_{2}\ell ^{2}{\dot {\psi }}^{2}-\left(m_{1}+2m_{2}\right)ga\cdot {\frac {\varphi ^{2}}{2}}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=\left({\frac {4}{3}}m_{1}+4m_{2}\right)a^{2}{\dot {\varphi }}$

${\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=-\left(m_{1}+2m_{2}\right)ga\varphi$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {1}{3}}m_{2}l^{2}{\dot {\psi }}$

${\ddot {\psi }}=0$

$\psi (t)=\psi _{0}+\omega _{0}t=\omega _{0}t$

$\left({\frac {4}{3}}m_{1}+4m_{2}\right)a^{2}{\ddot {\varphi }}+\left(m_{1}+2m_{2}\right)ga\varphi =0$

${\ddot {\varphi }}+{\frac {m_{1}+2m_{2}}{m_{1}+3m_{2}}}\cdot {\frac {3g}{4a}}\cdot \varphi =0$

$\varphi (t)=A\cos {\sqrt {{\frac {m_{1}+2m_{2}}{m_{1}+3m_{2}}}\cdot {\frac {3g}{4a}}}}t+B\sin {\sqrt {{\frac {m_{1}+2m_{2}}{m_{1}+3m_{2}}}{\frac {3g}{4a}}}}t$

При $\varphi (0)=\varphi _{0},\quad {\dot {\varphi }}(0)=0$

$\varphi (t)=\varphi _{0}\cos {\sqrt {{\frac {m_{1}+2m_{2}}{m_{1}+3m_{2}}}\cdot {\frac {3g}{4a}}}}t$

Задача 3.32

Условие

К бруску массы М, который может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной маятник, причём

$m_{1}=m_{2}={\frac {M}{2}},\quad l_{1}=l_{2}=l$

Найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при 𝑡 = 0

${\dot {x}}=v_{0},\quad \varphi _{1}=\varphi _{2}=0$

Решение

$v_{1}={\dot {x}}+l{\dot {\varphi }}_{1}$

$v_{2}={\dot {x}}+\ell {\dot {\varphi }}_{1}+l{\dot {\varphi }}_{2}$ $h_{1}=\ell \left(1-\cos \varphi _{1}\right)$

$h_{2}=\ell \left(1-\cos \varphi _{1}\right)+\ell \left(1-\cos \varphi _{2}\right)$

$L=K-\Pi ={\frac {M}{2}}{\dot {x}}^{2}+{\frac {M}{4}}\left({\dot {x}}+{\dot {\varphi }}_{1}\right)^{2}+{\frac {M}{4}}\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\varphi }}_{1}+\ell {\dot {\varphi }}_{2}\right)^{2}-{\frac {M}{4}}g\ell \varphi _{1}^{2}-{\frac {M}{4}}g\ell \left(\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}\right)$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=2M{\dot {x}}+M\ell {\dot {\varphi _{1}}}+{\frac {M}{2}}\ell {\dot {\varphi _{2}}}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}_{1}}}={\frac {M\ell }{2}}\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\varphi }}_{1}\right)+{\frac {M\ell }{2}}\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\varphi }}_{1}+\ell {\dot {\varphi }}_{2}\right)$

${\frac {\partial L}{\partial \varphi _{1}}}=-Mg\ell \varphi _{1}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}_{2}}}={\frac {M\ell }{2}}\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\varphi }}_{1}+\ell {\dot {\varphi }}_{2}\right)$

${\frac {\partial L}{\partial \varphi _{2}}}=-{\frac {1}{2}}Mg\ell \varphi _{2}$

$2{\ddot {x}}+\ell {\ddot {\varphi }}_{1}+{\frac {1}{2}}\ell {\ddot {\varphi }}_{2}=0$

${\ddot {x}}+\ell {\ddot {\varphi }}_{1}+{\frac {1}{2}}\ell {\ddot {\varphi }}_{2}+{\frac {g}{\ell }}\cdot \ell {\varphi }_{1}=0$

${\ddot {x}}+\ell {\ddot {\varphi }}_{1}+\ell {\ddot {\varphi }}_{2}+{\frac {g}{\ell }}\cdot \ell {\varphi }_{2}=0$

$A{\ddot {q}}+Cq=0$

$q=\left({\begin{array}{c}{x}\\{\ell {\varphi }_{1}}\\{\ell {\varphi }_{2}}\end{array}}\right)$

$A=\left({\begin{array}{lll}{2}&{1}&{1/2}\\{1}&{1}&{1/2}\\{1}&{1}&{1}\end{array}}\right)$

$C={\frac {g}{\ell }}\left({\begin{array}{lll}{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}}\right)$

$\operatorname {det} (C-\lambda A)=\left|{\begin{array}{ccc}{-2\lambda }&{-\lambda }&{-\lambda /2}\\{-\lambda }&{{\frac {g}{\ell }}-\lambda }&{-\lambda /2}\\{-\lambda }&{-\lambda }&{{\frac {g}{\ell }}-\lambda }\end{array}}\right|=\lambda \left(-2{\frac {g^{2}}{\ell ^{2}}}+{\frac {5}{2}}{\frac {g}{\ell }}\lambda -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\right)=0$

$\lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}={\frac {g}{\ell }}$

$\lambda _{3}={\frac {4g}{\ell }}$

$u_{1}=\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)$

$u_{2}=\left({\begin{array}{c}{1}\\{-3}\\{2}\end{array}}\right)$

$u_{3}=\left({\begin{array}{c}{1}\\{-4}\\{4}\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{c}{x}\\{\ell \varphi _{1}}\\{\ell \varphi _{2}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)\left(C_{1}t+C_{2}\right)+\left({\begin{array}{c}{1}\\{-3}\\{2}\end{array}}\right)\left(C_{3}\cos {\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t+C_{4}\sin {\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t\right)+\left({\begin{array}{c}{1}\\{-4}\\{4}\end{array}}\right)\left(C_{5}\cos 2{\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t+C_{6}\sin 2{\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t\right)\$$При $\${\dot {x}}=v_{0},\quad y_{1}=\varphi _{2}=0\quad \$$ и $\$\quad t=0$

$\left({\begin{array}{c}{x}\\{\ell \varphi _{1}}\\{\ell \varphi _{2}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)\left(v_{0}t+x_{0}\right)+\left({\begin{array}{c}{1}\\{-3}\\{2}\end{array}}\right)C_{4}\sin {\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t+\left({\begin{array}{c}{1}\\{-4}\\{4}\end{array}}\right)C_{6}\sin 2{\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t$

Глава 4

Задача 4.1

Условие

По гладкой горизонтальной трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, может двигаться точка массы m. 1) Найти общее решение канонических уравнений движения точки. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Получить решение методом Якоби. За обобщённую координату принять х — расстояние точки до оси вращения.

Решение

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {e_{z}}}$

$V_{abs.}^{2}={\dot {x}}^{2}+w^{2}x^{2}$

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+w^{2}x^{2}\right),\quad V=0$

$L=T-V=T={\frac {1}{2}}mx^{2}+{\frac {1}{2}}m(wx)^{2}$

$H={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}m(\omega x)^{2}$

$\left\{{\begin{array}{l}{{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}}\\{{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}}\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{l}{{\dot {p}}={\frac {\partial H}{\partial x}}}\\{{\dot {x}}={\frac {p}{m}}}\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{l}{p=m\omega ^{2}x}\\{{\dot {x}}={\frac {p}{m}}}\end{array}}\right.$

${\ddot {x}}=\omega ^{2}x$

$\lambda ^{2}-w^{2}=0$

$\lambda =\pm w$

$x(t)=c_{1}e^{\omega t}+c_{2}e^{-\omega t}$

$p(t)=mw\left(c_{1}e^{wt}-c_{2}e^{-wt}\right)$

${\frac {\partial W}{\partial t}}+H\left(t,{\frac {\partial W}{\partial x}},x\right)=0$

${\frac {\partial W}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial W}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}=0$

${\frac {dH}{dt}}=0$

$W=-ht+S(x,h)$

$H\left({\frac {\partial S}{\partial x}},x\right)=h$

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}=h$

$\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}=\left(h-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)2m$

${\frac {\partial S}{\partial x}}={\sqrt {2mh-m^{2}w^{2}x^{2}}}$

$S=\int {\sqrt {2mh-m^{2}w^{2}x^{2}}}dx$

$W=-ht+\int {\sqrt {2mh-m^{2}w^{2}x^{2}}}dx$

Задача 4.2

Условие

Гладкая трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол ${\frac {\pi }{4}}$. В трубке находится тяжёлый шарик массы т. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если его начальная относительная скорость равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а.

2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и найти решение канонических уравнений методом Якоби.

Решение

$H=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+mgq\cos \alpha +{\frac {m}{2}}\omega ^{2}q^{2}\sin ^{2}\alpha$

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=-mg\cos \alpha -m\omega ^{2}q\sin ^{2}\alpha$

${\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}$

$\left({\begin{array}{l}{\dot {p}}\\{\dot {q}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{0}&{-m\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }\\{1/m}&{0}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}{-mg\cos \alpha }\\{0}\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{\dot {p}}\\{\dot {q}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{0}&{-m\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }\\{1/m}&{0}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)$

$\det(A-\lambda E)=\left|{\begin{array}{cc}{-\lambda }&{-m\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }\\{1/m}&{-\lambda }\end{array}}\right|=\lambda ^{2}+\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha$

$\lambda _{1}=\omega i\sin \alpha =\omega \sin \alpha e^{i\pi /2}$

$\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)=C_{1}\left({\begin{array}{c}{1}\\{m\omega \sin \alpha e^{i\pi /2}}\end{array}}\right)\exp(i\omega \sin \alpha t)+C_{2}\left({\begin{array}{c}{1}\\{m\omega \sin \alpha e^{-i\pi /2}}\end{array}}\right)\exp(-i\omega \sin \alpha t)$

$\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)_{1}=\left({\begin{array}{c}{0}\\{-{\frac {g\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}C_{1}\exp(i\omega \sin \alpha t)+C_{2}\exp(-i\omega \sin \alpha t)\\-g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}+C_{1}m\omega \sin \alpha \exp \left({\frac {i\pi }{2}}+i\omega \sin \alpha t\right)+C_{2}m\omega \sin \alpha \exp \left(-{\frac {i\pi }{2}}-i\omega \sin \alpha t\right)\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)_{0}=\left({\begin{array}{l}{0}\\{a}\end{array}}\right)$

$\left.\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)\right|{}_{t=0}=\left({\begin{array}{l}{C_{1}+C_{2}}\\{-g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}+i\left(C_{1}-C_{2}\right)\omega \sin \alpha }\end{array}}\right)$

$C_{1}+C_{2}=0,\quad C_{2}=-C_{1}=-C$

$\left.q\right|{}_{t=0}=-g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}+i\cdot 2cm\omega \sin \alpha =a$

$C={\frac {a+g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{2im\omega \sin \alpha }}=-{\frac {i}{2}}\left({\frac {a+{\frac {g\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{m\omega \sin \alpha }}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{\frac {a+g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{2im\omega \sin \alpha }}\left(\exp \left(-{\frac {\pi i}{2}}\right)\exp(i\omega \sin \alpha t)+\exp \left({\frac {\pi i}{2}}\right)\exp(-i\omega \sin \alpha t)\right)\\-g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}+{\frac {a+g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{2im\omega \sin \alpha }}e^{-i\pi /2}e^{i\pi /2}e^{i\omega \sin \alpha t}+e^{i\pi /2}e^{-i\pi /2}e^{-i\omega \sin \alpha t}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{\frac {a+{\frac {g\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{m\omega \sin \alpha }}\sin(\omega \sin \alpha t)\\-g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}+{\frac {a+g{\frac {\cos \alpha }{\omega ^{2}\sin ^{2}\alpha }}}{2im\omega \sin \alpha }}\cos(\omega \sin \alpha t)\end{array}}\right)$

$\sqsupset \alpha =45^{\circ }$

$\left({\begin{array}{l}{p}\\{q}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{\frac {a+{\frac {{\sqrt {2}}g}{\omega ^{2}}}}{m\omega }}{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\omega t}{\sqrt {2}}}\right)\\{\frac {a+{\frac {{\sqrt {2}}g}{\omega ^{2}}}}{m\omega }}{\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\omega t}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {{\sqrt {2}}g}{\omega ^{2}}}\end{array}}\right)$

$H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+mgq\cos \alpha +{\frac {m\omega ^{2}q^{2}\sin ^{2}\alpha }{2}}$

$W=-ht+S(q)$

$H\left({\frac {\partial S}{\partial q}},q\right)=h$

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial q}}\right)^{2}+mgq\cos \alpha +{\frac {m}{2}}\omega ^{2}q^{2}\sin ^{2}\alpha =h$

${\frac {\partial S}{\partial q}}={\sqrt {2m}}\cdot {\sqrt {h-{\frac {mgq}{\sqrt {2}}}-{\frac {mw^{2}q^{2}}{4}}}}$

$S(q)=\int _{0}^{q}{\sqrt {2m}}\cdot {\sqrt {h-{\frac {mgt}{\sqrt {2}}}-{\frac {mw^{2}t^{2}}{4}}}}dt$

$W=-ht+\int _{0}^{q}{\sqrt {2m}}\cdot {\sqrt {h-{\frac {mgt}{\sqrt {2}}}-{\frac {mw^{2}t^{2}}{4}}}}dt$

Задача 4.3

Условие

Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна ν₀. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение канонических уравнений движения методом Якоби.

Решение

$T-{\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)={\frac {m}{2}}\left(a^{2}+(R-at)^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)$

$L=T$

$p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m(R-at)^{2}{\dot {\varphi }}$

${\dot {\varphi }}={\frac {p\psi }{m(R-at)^{2}}}$

$H={\frac {p_{\varphi }^{2}}{2m(R-at)^{2}}}-{\frac {ma^{2}}{2}}$

${\dot {\varphi }}={\frac {p_{\varphi }}{m(R-at)^{2}}}$

$200R{\dot {\varphi }}=v_{0}={\frac {p_{\varphi }}{mR}}$

$p_{\varphi }=mRv_{0}$

${\dot {\varphi }}={\frac {R\nu _{0}}{(R-at)^{2}}}$

$\varphi ={\frac {Rv_{0}}{a(R-at)}}+C$

$c=-{\frac {v_{0}}{a}}$

$\varphi ={\frac {Rv_{0}}{a(R-at)}}-{\frac {v_{0}}{a}}={\frac {v_{0}t}{R-at}}$

Задача 4.4

Условие

Точка массы т под действием собственного веса движется по циклоиде

${\begin{array}{l}{x=r(\theta +\sin \theta )}\\{y=-r(1+\cos \theta )}\end{array}}$,

расположенной в вертикальной плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если при t = 0 Θ = 0, v = v₀ .В качестве обобщённой координаты взять дугу циклоиды s = $\smile M_{0}M$. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение задачи методом Якоби.

Решение

$\left\{{\begin{array}{l}{x=r(\theta +\sin \theta )}\\{y=-r(1+\cos \theta )}\end{array}}\right.$

${\begin{array}{l}{{\frac {dx}{d\theta }}=r(1+\cos \theta )}\\{{\frac {dy}{d\theta }}=r\sin \theta }\end{array}}$

$S=\int _{0}^{\theta }{\sqrt {\left({\frac {dx}{d\theta }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\theta }}\right)^{2}}}d\theta =\int _{0}^{\theta }{\sqrt {2}}r{\sqrt {1+\cos \theta }}d\theta =2{\sqrt {2}}r{\sqrt {1+\cos \theta }}\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

$t=\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

$s=2{\sqrt {2}}r{\sqrt {1+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}t=2{\sqrt {2}}r{\sqrt[{}]{\frac {2}{1+t^{2}}}}={\frac {4rt}{\sqrt {1+t^{2}}}}$

$\left(1+t^{2}\right)s^{2}=16r^{2}t^{2}$

$t^{2}={\frac {s^{2}}{16r^{2}-s^{2}}}$

$y=-r(1+\cos \theta )=-r\left(1+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)={\frac {-2r}{1+t^{2}}}={\frac {s^{2}-16r^{2}}{8r}}$

$H(p,s)={\frac {p^{2}}{2m}}+mg(y+2r)\cdot {\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {mgs^{2}}{8r}}$

$p=-{\frac {\partial H}{\partial s}}={\frac {-mgs}{4r}}\quad {\dot {s}}={\frac {p}{m}}$

$\left({\begin{array}{c}{\dot {s}}\\{\dot {p}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{0}&{1/m}\\{-mg/4r}&{0}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{s}\\{p}\end{array}}\right)$

$\det(A-\lambda E)=\left|{\begin{array}{cc}{-1}&{1/m}\\{-{\frac {mg}{4r}}}&{-\lambda }\end{array}}\right|=\lambda ^{2}+{\frac {g}{4r}}=0$

$\lambda _{1}={\sqrt {\frac {g}{4r}}}i\quad \lambda _{2}=-{\sqrt {{\frac {g}{4r}}i}}$

$u_{1}=\left({\begin{array}{c}{-{\frac {i}{m}}{\sqrt {\frac {4r}{g}}}}\\{1}\end{array}}\right)\quad u_{2}=\left({\begin{array}{c}{+{\frac {i}{m}}{\sqrt {\frac {4r}{g}}}}\\{1}\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{s}\\{p}\end{array}}\right)=C_{1}\left({\begin{array}{l}-{\frac {i}{m}}{\sqrt {\frac {4r}{g}}}\\1\end{array}}\right)\exp \left({\sqrt {\frac {g}{4r}}}it\right)+C_{2}\left({\begin{array}{l}{\frac {i}{m}}{\sqrt {\frac {4r}{g}}}\\1\end{array}}\right)\exp \left(-{\sqrt {\frac {g}{4r}}}it\right)$

$\left.s\right|_{t=0}=0\quad \left.pl\right|_{t=0}=mv_{0}$

$\left.\left({\begin{array}{l}{s}\\{p}\end{array}}\right)\right|_{t=0}=\left({\begin{array}{c}{\left(C_{2}-C\right){\frac {i}{m}}{\sqrt {\frac {4r}{g}}}}\\{C_{2}+C_{1}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{0}\\{mv_{0}}\end{array}}\right)$

$C_{1}=C_{2}={\frac {mv_{0}}{2}}$

$\left({\begin{array}{l}{s}\\{p}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}-v_{0}i{\sqrt {\frac {r}{g}}}\exp \left({\sqrt {\frac {g}{4r}}}it\right)+v_{0}i{\sqrt {\frac {r}{g}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {g}{4r}}}it\right)\\{\frac {mv_{0}}{2}}\exp \left({\sqrt {\frac {g}{4r}}}it\right)+{\frac {mv_{0}}{2}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {g}{4r}}}it\right)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{{\sqrt {\frac {4r}{g}}}v_{0}\sin {\sqrt {\frac {g}{4r}}}t}\\{mv_{0}\cos {\sqrt {\frac {g}{4r}}}t}\end{array}}\right)$

$H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {mgq^{2}}{8r}}$

$W=-ht+S(q)$

$H\left({\frac {\partial S}{\partial q}},q\right)=h$

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {mgq^{2}}{8r}}=h$

${\frac {\partial S}{\partial q}}={\sqrt {2m\left(h-{\frac {mgq^{2}}{8r}}\right)}}$

$S(q)=\int _{0}^{g}{\sqrt {2m\left(h-{\frac {mgt^{2}}{8r}}\right)}}dt$

$W(t,q,h)=-ht+\int _{0}^{g}{\sqrt {2m\left(h-{\frac {mgt^{2}}{8r}}\right)}}dt$

$-\beta ={\frac {\partial W}{\partial h}}=-t+\int _{0}^{q}{\frac {dx}{\sqrt {h-{\frac {mgx^{2}}{8r}}}}}$

$-\beta +t={\sqrt {\frac {8r}{mg}}}\arcsin {\sqrt {\frac {mg}{8rh}}}q$

${\sqrt {\frac {mg}{8rh}}}q=\sin {\sqrt {\frac {mg}{8r}}}(t-\beta )$

$q={\sqrt {\frac {8rh}{mg}}}\sin {\sqrt {\frac {mg}{8r}}}(t-\beta )$

Задача 4.5

Условие

Тяжёлая точка М массы т движется по поверхности круглого цилиндра радиуса r, ось которого вертикальна. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если её начальная скорость равна по величине v₀ и составляет угол α с горизонтом. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки методом Якоби.

Решение

$v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {h}}^{2}$

$L={\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}\varphi ^{2}+{\frac {m}{2}}{\dot {h}}^{2}-V(r,\varphi ,h)$

$p_{r}=m{\dot {r}}\quad p_{\varphi }=mr^{2}{\dot {\varphi }}\quad p_{h}=m{\dot {h}}$

$H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}p_{\varphi }^{2}+p_{h}^{2}\right)+V(r,\varphi ,h)$

$r=const$

$H\left(p_{\varphi },p_{h},\varphi ,h\right)={\frac {1}{2mr^{2}}}p_{\varphi }^{2}+{\frac {p_{h}^{2}}{2m}}+mgh$

${\dot {h}}={\frac {\partial H}{\partial \rho _{h}}}={\frac {p_{h}}{m}}\quad {\dot {p_{h}}}=-{\frac {\partial H}{\partial h}}=-mg$

${\dot {\varphi }}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}\quad {\dot {p_{\varphi }}}=-{\frac {\partial H}{\partial \varphi }}=0$

${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{l}{\varphi }\\p_{\varphi }\\{h}\\{p_{h}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{llll}{0}&{1/mr^{2}}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1/m}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{\varphi }\\p_{\varphi }\\{h}\\{p_{h}}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}{0}\\{0}\\{0}\\{-mg}\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{\varphi }\\p_{\varphi }\\{h}\\{p_{h}}\end{array}}\right)_{f}=\left({\begin{array}{c}{0}\\{0}\\{-gt^{2}/2}\\{-mgt}\end{array}}\right)$

$\det \left({\begin{array}{cccc}{-\lambda }&{\ln r^{2}}&{0}&{0}\\{0}&{-\lambda }&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-\lambda }&{1/m}\\{0}&{0}&{0}&{-\lambda }\end{array}}\right)=\lambda ^{4}=0$

$Au=\left({\begin{array}{llll}{0}&{1/mr^{2}}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1/m}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{a}\\{b}\\{c}\\{d}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{b/mr^{2}}\\{0}\\{d/m}\\{0}\end{array}}\right)=0$

$u_{1}=\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\\0\end{array}}\right)\quad u_{2}=\left({\begin{array}{l}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{array}}\right)$

$Au=u_{1}$

$\left({\begin{array}{c}{b/mr^{2}}\\{0}\\{d/m}\\{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)$

$u_{3}=\left({\begin{array}{c}{0}\\{mr^{2}}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)$

$Au=u_{2}$

$\left({\begin{array}{c}{b/mr^{2}}\\{0}\\{d/m}\\{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{array}}\right)$

$u_{4}=\left({\begin{array}{c}{0}\\{0}\\{0}\\{m}\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{\varphi }\\p_{\varphi }\\{h}\\{p_{h}}\end{array}}\right)=C_{1}\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)+C_{2}\left(t\left({\begin{array}{l}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}{0}\\{mr^{2}}\\{0}\\{0}\end{array}}\right)\right)+C_{3}\left({\begin{array}{l}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{array}}\right)+C_{4}\left(t\left({\begin{array}{l}{0}\\{0}\\{1}\\{0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}{0}\\{0}\\{0}\\{m}\end{array}}\right)\right)$

$\left.\left({\begin{array}{l}{\varphi }\\p_{\varphi }\\{h}\\{p_{h}}\end{array}}\right)\right|_{t=0}=\left({\begin{array}{l}{C_{1}}\\{mr^{2}C_{2}}\\{C_{3}}\\{mC_{4}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{0}\\{mrv\cos \alpha }\\{0}\\{mv\sin \alpha }\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{l}{\varphi }\\p_{\varphi }\\{h}\\{p_{h}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}{{\frac {V}{r}}\cos \alpha t}\\mrv\cos \alpha \\{v\sin \alpha t-gt^{2}/2}\\{mv\sin \alpha -mgt}\end{array}}\right)$

$H={\frac {p_{h}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}+mgh$

$V=W\left(t,\varphi ,h,\alpha _{1},\alpha _{2}\right)$

$-t\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)+S_{1}(\varphi )+S_{2}(h)$

${\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {\partial S_{1}}{\partial \varphi }}\right)^{2}=\alpha _{1}$

$S_{1}(\varphi )={\sqrt {2mr^{2}\alpha _{1}}}\varphi$

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S_{2}}{\partial h}}\right)^{2}+mgh=\alpha _{2}$

$S_{2}(h)={\sqrt {2m}}\int _{0}^{h}{\sqrt {\alpha _{2}-mgx}}dx={\frac {2{\sqrt {2}}\cdot \alpha _{2}{\sqrt {m\alpha _{2}}}}{3mg}}\left(1-\left(1-{\frac {mgh}{\alpha _{2}}}\right)^{3/2}\right)$

$W\left(t,\varphi ,h,\alpha _{1},\alpha _{2}\right)=-t\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)+{\sqrt {2mr^{2}\alpha _{1}}}\varphi +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\cdot {\frac {\alpha _{2}{\sqrt {m\alpha _{2}}}}{mg}}\left(1-\left(1-{\frac {mgh}{\alpha _{2}}}\right)^{3/2}\right)$

$\beta _{1}={\frac {\partial W}{\partial \alpha _{1}}},\quad \beta _{2}={\frac {\partial W}{\partial \alpha _{2}}}$

$\beta _{1}={\frac {\partial W}{\partial \alpha _{1}}}=-t+{\sqrt {2mr^{2}}}\varphi \cdot {\frac {1}{2{\sqrt {\alpha _{1}}}}}$

$\varphi (t)={\sqrt {\frac {2\alpha _{1}}{mr^{2}}}}(t+\beta _{1})$

$\beta _{2}={\frac {\partial W}{\partial \alpha _{2}}}={\sqrt {\frac {2\alpha _{2}}{mg^{2}}}}-{\sqrt {\frac {2\left(\alpha _{2}-mgh\right)}{mg^{2}}}}-t$

${\sqrt {2\alpha _{2}}}-g\left(t+\beta _{2}\right){\sqrt {m}}={\sqrt {2\left(\alpha _{2}-mgh\right)}}$

$2\alpha _{2}-2{\sqrt {2\alpha _{2}}}g\left(t+\beta _{2}\right){\sqrt {m}}+g^{2}\left(t+\beta _{2}\right)^{2}m=2\alpha _{2}-2mgh$

$h(t)={\sqrt {\frac {2\alpha _{2}}{m}}}\left(t+\beta _{2}\right)-{\frac {g\left(t+\beta _{2}\right)^{2}}{2}}$

Задача 4.13

Условие

Два одинаковых шарика массы т, связанные между собой пружиной жёсткости с (длина пружины в недеформированном состоянии равна /), могут скользить без трения по трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. 1) Найти переменные у₁, у₂, в которых полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нашёлся бы методом разделения переменных.

2) Найти полный интеграл и решение канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

Решение

${\vec {v}}_{1}=wx_{1}{\vec {e}}_{y}+{\dot {x}}_{1}{\vec {e}}_{x}$

${\vec {V}}=wx_{2}{\overline {e}}_{y}+{\dot {x}}_{1}{\overline {e}}_{x}$

$T=T_{1}+T_{2}={\frac {m}{2}}(w^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})$

$V={\frac {c\left(x_{2}-x_{1}-l\right)^{2}}{2}}$

$p_{1}=m{\dot {x}}_{1}$

$p_{2}=m{\dot {x}}_{2}$

$H={\frac {m}{2}}\left(-w^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x_{1}^{2}}}\right)+{\frac {c}{2}}\left(x_{2}-x_{1}-l\right)^{2}={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}-{\frac {mw^{2}}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+{\frac {c}{2}}\left(x_{2}-x_{1}-1\right)^{2}$

${\dot {p}}_{1}=mw^{2}x_{1}+c\left(x_{2}-x_{1}-l\right)$

${\dot {p}}_{2}=mw^{2}x_{2}-c\left(x_{2}-x_{1}-l\right)$

${\dot {x}}_{1}={\frac {p_{1}}{m}}$

${\dot {x}}_{2}={\frac {p_{2}}{m}}$

$m{\ddot {x}}_{1}=m\omega ^{2}x_{1}+c\left(x_{2}-x_{1}-l\right)$

$m{\ddot {x}}_{2}=mw^{2}x_{2}-c\left(x_{2}-x_{1}-l\right)$

$y_{1}={\frac {x_{2}-x_{1}}{l}}$

$y_{2}={\frac {x_{2}+x_{1}}{l}}$

$2m{\ddot {y}}_{2}=2mw^{2}y_{2}$

$-2m{\ddot {y}}_{1}=-2mw^{2}y_{1}+4c\left(y_{1}-l\right)$

Задача 4.24

Условие

Стержень вращается с постоянной угловой скоростью ω в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси (которая проходит через некоторую точку стержня). Найти общее решение канонических уравнений движения колечка массы m, насаженного на стержень

1) непосредственным интегрированием, и 2) методом Якоби; выписать полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

Решение

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\omega ^{2}x^{2}\right)$

$V=-mgx\cos \omega t$

$L={\frac {1}{2}}\cdot m\left({\dot {x}}^{2}+\omega ^{2}x^{2}\right)+mgx\cos \omega t$

$p={\frac {\partial L}{\partial x}}=m{\dot {x}}$

$H={\frac {1}{2m}}p^{2}-{\frac {1}{2}}m\cdot \omega ^{2}x^{2}-mgx\cos \omega t$

${\frac {dS}{dt}}+\left[{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS}{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right]-xmg\cos \omega t=0$

$S={\frac {Ax^{2}}{2}}+Bx+C$

${\frac {{\dot {A}}x^{2}}{2}}+{\dot {B}}x+C+{\frac {1}{2m}}(Ax+B)^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}-xmg\cos \omega t=0$

${\begin{cases}{\frac {\dot {A}}{2}}+{\frac {A^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}=0\\{\dot {B}}+{\frac {1}{m}}AB-mg\cos \omega t=0\\{\dot {C}}+{\frac {1}{2m}}B^{2}=0\end{cases}}<math>{\dot {A}}=m\omega ^{2}-{\frac {A^{2}}{m}}$

$\int {\frac {dA}{m\omega ^{2}-{\frac {A^{2}}{m}}}}=m\int {\frac {dA}{m\omega ^{2}-A^{2}}}={\frac {1}{2\omega }}\ln \left|{\frac {m\omega +A}{m\omega -A}}\right|=t+C$

$P={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}$

${\dot {x}}={\frac {p}{m}}$

$p=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=m\omega ^{2}x+mg\cos \omega t$

$\left({\begin{array}{l}{\dot {x}}\\{\dot {p}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&{\frac {1}{m}}\\m\omega ^{2}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}x\\p\end{array}}\right)$

$\lambda ^{2}-\omega ^{2}=0$

$\lambda _{1,2}=\pm \omega$

$x(t)=C_{1}e^{\omega t}+C_{2}e^{-\omega t}$

$p(t)=A_{1}e^{\omega t}+A_{2}e^{-\omega t}$

$\omega C_{1}e^{\omega t}-\omega C_{2}e^{-\omega t}={\frac {A_{1}}{m}}e^{\omega t}+{\frac {A_{2}}{m}}e^{-\omega t}$

$\left\{{\begin{array}{l}{A_{1}=m\omega C_{1}}\\{A_{2}=-m\omega C_{2}}\end{array}}\right.$

${\begin{array}{l}{A_{1}=m\omega C_{1}}\\{A_{2}=-m\omega C_{2}}\end{array}}$

${\begin{cases}{\begin{array}{l}{A_{1}=m\omega C_{1}}\\{A_{2}=-m\omega C_{2}}\end{array}}\end{cases}}$

${\begin{array}{l}{\begin{cases}\lambda (t)=C_{1}e^{\omega t}+C_{2}e^{-\omega t}+C(t)\\{p(t)=m\omega \left(C_{1}e^{\omega t}-C{}_{2}e^{-\omega t}\right)+B(t)}\end{cases}}\end{array}}$

$\sqsupset C=-{\frac {\rho }{2\omega ^{2}}}\cos \omega t$

$B={\frac {mg}{2\omega }}\sin \omega t$

${\frac {mg}{2}}\cos \omega t=-m\omega ^{2}{\frac {g}{2\omega ^{2}}}\cos wt+mg\cos \omega t$

${\begin{cases}x(t)=C_{1}e^{\omega t}+c_{2}e^{-\infty }-{\frac {g}{2\omega ^{2}}}\cos \omega t\\p(t)=m\omega (c_{1}e^{\omega t}-C_{2}e^{-\omega t})+{\frac {g}{2\omega }}\sin \omega t)\end{cases}}$

${\dot {B}}+{\frac {1}{m}}\cdot \omega mB=mg\cos \omega t$

${\dot {B}}+\omega B=mg\cos \omega t$

$B_{0}=\alpha e^{-\omega t}$

$B_{1}=\alpha \sin \omega t+\beta \cos \omega t$

${\dot {B}}_{1}=-\omega \alpha \sin \omega t+\omega \beta \cos \omega t$

$-\omega \alpha \cos \omega t+\omega \beta \sin \omega t+\omega \alpha \sin \omega t+\omega \beta \cos \omega t=mg\cos \omega t$

${\begin{cases}-w\alpha +\omega \beta =mg\\\omega \beta =-\omega \alpha \end{cases}}$

$\beta ={\frac {mg}{2\omega }}$

$\alpha =-{\frac {mg}{2\omega }}$

$B=\alpha e^{-\omega t}+\beta (\cos \omega t-\sin \omega t)$

$C=\int -{\frac {B^{2}}{2m}}dt$

Интегрирование...

$C={\frac {\alpha ^{2}}{4\omega }}e^{-2\omega t}-\alpha {\frac {mg}{4\omega ^{2}}}\left(e^{-\omega t}\sin \omega t\right)-{\frac {m^{2}g^{2}}{4\omega ^{2}}}\left(t+{\frac {1}{\omega }}\cos 2\omega t\right)$

$S={\frac {\omega mx^{2}}{2}}+x(\alpha e^{-\omega t}+{\frac {mg}{2\omega }}(\cos \omega t-\sin \omega t)+C$

Задача 4.27

Условие

Материальная точка М массы т движется под действием двух ньютоновских сил притяжения, центры С₁ и С₂ которых расположены на неподвижной оси, расстояние между ними равно 2с. Найти интегралы канонических уравнений Гамильтона методом Якоби.

За обобщённые координаты принять угол поворота плоскости, определяемой точками М, С₁ и С₂ и эллиптические координаты в этой плоскости

$\lambda ={\frac {r_{1}+r_{2}}{2c}}$

$\mu ={\frac {r_{1}-r_{2}}{2c}}$

где r₁ = С₁М, r₂ = С₂М.

Решение

$\lambda ={\frac {r_{1}+r_{2}}{2c}}$

$\mu ={\frac {r_{1}-r_{2}}{2c}}$

$z=c\lambda \mu$

$r=c{\sqrt {\lambda ^{2}-1}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}$

$r_{1}=c(\lambda +\mu )$

$r_{2}=c(\lambda -\mu )$

$\Pi =-{\frac {f_{1}}{r_{1}}}-{\frac {f_{2}}{r_{2}}}={\frac {-1}{c\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)}}[\left(f_{1}+f_{2}\right)\lambda +\left(f_{2}-f_{1}\right)\mu ]$

$T={\frac {1}{2}}\left({\dot {z}}^{2}+{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)={\frac {1}{2}}c^{2}\left(\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)\right.\left({\frac {{\dot {\lambda }}^{2}}{\lambda ^{2}-1}}+{\frac {{\dot {\mu }}^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)+\varphi ^{2}\left(\lambda ^{2}-1\right)\left(1-\mu ^{2}\right)$

$H={\frac {1}{2c^{2}}}\left[{\frac {p_{\lambda }^{2}\left(\lambda ^{2}-1\right)}{\lambda ^{2}-\mu ^{2}}}+{\frac {p_{\mu }^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)}{\lambda ^{2}-\mu ^{2}}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{(\lambda ^{2}-1)\left(1-\mu ^{2}\right)}}\right]-{\frac {1}{c\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)}}[\left(f_{1}+f_{2}\right)\lambda +\left(f_{2}-f_{1}\right)\mu ]$

$W=\beta _{\varphi }\varphi +W^{*}(\lambda ,\mu )$

$\left(\lambda ^{2}-1\right)\left({\frac {\partial W^{*}}{\partial r}}\right)^{2}+\left(1-\mu ^{2}\right)\left({\frac {\partial W^{*}}{\partial q\mu }}\right)^{2}+{\frac {\beta _{\varphi }^{2}}{\lambda ^{2}-1}}+{\frac {\beta _{\varphi }^{2}}{1-\mu ^{2}}}-2c\left[\left(f_{1}+f_{2}\right)\lambda +\left(f_{2}-f_{1}\right)\mu \right]=2hc^{2}\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)$

$W^{*}(\lambda ,\mu )=W_{1}(\lambda )+W_{2}(\mu )$

$\left(\lambda ^{2}-1\right)\left({\frac {\partial W_{1}}{\partial \mu }}\right)^{2}+{\frac {\beta _{\varphi }^{2}}{\lambda ^{2}-1}}-2c\left(f_{1}+f_{2}\right)\lambda -2hc^{2}\lambda ^{2}=-[\left(1-\mu ^{2}\right)\left({\frac {dW_{2}}{d\mu }}\right)^{2}+{\frac {\beta _{\varphi }^{2}}{1-\mu ^{2}}}-2c\left(f_{2}-f_{1}\right)\mu +2hc^{2}\mu ^{2}]$

$\left(\lambda ^{2}-1\right)\left({\frac {\partial W_{1}}{\partial \mu }}\right)^{2}=-\beta -{\frac {\beta _{\varphi }^{2}}{\lambda ^{2}-1}}+2c\left(f_{1}+f_{2}\right)\lambda +2hc^{2}\lambda ^{2}$

$\left(1-\mu ^{2}\right)\left({\frac {dW_{2}}{d\mu }}\right)^{2}=\beta -{\frac {\beta \varphi ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+2c\left(f_{2}-f_{1}\right)\mu -2hc^{2}\mu ^{2}$

$W=\beta _{\varphi }\varphi +\int {\sqrt {F_{1}(\lambda )}}{\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}-1}}+\int {\sqrt {F_{2}(\mu )}}{\frac {d\mu }{\mu ^{2}-1}}$

$F_{1}(\lambda )=\left(\lambda ^{2}-1\right)\left(2hc^{2}\lambda ^{2}+2c\left(f_{1}+f_{2}\right)\lambda -\beta \right)-\beta _{\varphi }^{2}$

$F_{2}(\mu )=\left(1-\mu ^{2}\right)\left(-2hc^{2}\mu ^{2}+2c\left(k_{2}-k_{1}\right)\mu +\alpha \right)-\alpha _{\varphi }^{2}$

${\frac {\partial W}{\partial \beta _{\varphi }}}=\varphi -\beta _{\varphi }\int {\frac {d\lambda }{\left(\lambda ^{2}-1\right){\sqrt {F_{1}(\lambda )}}}}-\beta _{\varphi }\int {\frac {d\mu }{\left(1-\mu ^{2}\right){\sqrt {F_{2}(\mu )}}}}=\alpha _{\varphi }$

${\frac {\partial W}{\partial \beta }}=-\int {\frac {d\lambda }{\sqrt {F_{1}(\lambda )}}}+\int {\frac {d\mu }{\sqrt {F_{2}(\mu )}}}=2\alpha$

${\frac {\partial W}{\partial h}}=c^{2}\int {\frac {\lambda ^{2}d\lambda }{\sqrt {F_{1}(\lambda )}}}-c^{2}\int {\frac {\mu ^{2}d\mu }{\sqrt {F_{2}(\mu )}}}=t-t_{0}$

$p_{\varphi }=\beta _{\varphi }$

$p_{\lambda }={\frac {\sqrt {F_{1}}}{\lambda ^{2}-1}}$

$p_{\mu }={\frac {\sqrt {F_{2}}}{\mu ^{2}-1}}$

Глава 5

Задача 5.1

Условие

Доказать свойства скобок Пуассона...

Решение

1.$\{F,G\}=-\{G,F\}$

$\{F,G\}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)$

$-\{G,F\}=\sum _{j=1}^{n}\left(-{\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\right)$

2. Если $F=\varphi (f_{1,}\ldots ,f_{m})$, то $\{F,G\}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}\{f_{i},G\}$

$\{F,G\}=\sum _{s=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{s}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{s}}}\right)$

${\frac {\partial F}{\partial q_{s}}}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial q_{s}}}\quad {\frac {\partial F}{\partial p_{s}}}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial p_{s}}}$

$\{F,G\}=\sum _{s=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial q_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{s}}}-\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial p_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{s}}}\right)=\sum _{s=1}^{n}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}\left(\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial q_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{s}}}-\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial p_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{s}}}\right)\right]=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial \varphi }{\partial f_{i}}}\{f_{i},G\}$

3.$\{\{F,G\},H\}+\{\{H,F\},G\}+\{\{G,H\},F\}=0$

$\{F,G\}=\sum _{s=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{s}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{s}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{s}}}\right)$

$\{\{F,G\},H\}=\sum _{s=1}^{n}\left({\frac {\partial \{F,G\}}{\partial q_{s}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{s}}}-{\frac {\partial \{F,G\}}{\partial p_{s}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial q_{s}}}\right)=\sum _{s=1}^{n}\left({\frac {\partial \left[\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)\right]}{\partial q_{s}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{s}}}-{\frac {\partial \left[\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)\right]}{\partial p_{s}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial q_{s}}}\right)$

${\frac {\partial \left[\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)\right]}{\partial x}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)}{\partial x}}=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)}{\partial x}}\right]$

${\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\right)}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial p_{j}}}$

$\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)}{\partial x}}\right]=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial q_{j}}}\right)$

$\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial q_{j}}}\right)$

$\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\right)$

$\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\right)$

$\{\{F,G\},H\}=$

$=\sum _{s=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{s}}}-\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial H}{\partial q_{s}}}\right)$

$\{\{F,G\},H\}+\{\{H,F\},G\}+\{\{G,H\},F\}=$

$=\sum _{s=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{s}}}-\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial H}{\partial q_{s}}}\right)+$

$+\sum _{s=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\left[{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{s}}}-\left[{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{s}}}\right)+$

$+\sum _{s=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\left[{\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}G}{\partial q_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial F}{\partial p_{s}}}-\left[{\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}G}{\partial p_{s}\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{s}\partial q_{j}}}\right]\cdot {\frac {\partial F}{\partial q_{s}}}\right)=0$

4.${\frac {\partial \{F,G\}}{\partial x}}=\left\{{\frac {\partial F}{\partial x}},G\right\}+\left\{F,{\frac {\partial G}{\partial x}}\right\}$

${\frac {\partial \left[\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)\right]}{\partial x}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)}{\partial x}}=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)}{\partial x}}\right]$

${\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\right)}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial p_{j}}}$

$\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}\right)}{\partial x}}-{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}\right)}{\partial x}}\right]=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x\partial q_{j}}}\right)=$

$=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial \left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial G}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial \left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)}{\partial q_{j}}}\right)=\left\{{\frac {\partial F}{\partial x}},G\right\}+\left\{F,{\frac {\partial G}{\partial x}}\right\}$

Задача 5.8

Решение

$H=F\{f_{n}[\ldots f_{2}(f_{1}\left(q_{1},p_{1}\right),q_{2},p_{2})],t\}$

$\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}\right)=$

$=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial f_{n}}}\cdot {\frac {\partial f_{n}}{\partial f_{n-1}}}\cdots {\frac {\partial f_{j}}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial F}{\partial f_{n}}}\cdot {\frac {\partial f_{n}}{\partial f_{n-1}}}\cdots {\frac {\partial f_{j}}{\partial q_{j}}}\right)=$

$=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial F}{\partial f_{n}}}\cdot {\frac {\partial f_{n}}{\partial f_{n-1}}}\cdots \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial q_{j}}}\cdot {\frac {\partial f_{j}}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial f_{j}}{\partial q_{j}}}\right)\right)$

Это выражение равно $0$, если $i<j$, так как $f_{i}$ не зависят от $p_{j},q_{j}$;

Если же $i\geqslant j$, то в выражении выделится множитель из менее, чем $j$ множителей, которая по той же причине занулит всё выражение.