Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Пространства
и
.[править]
Определение. Метрикой на множестве
называется функция
, удовлетворяющая следующим условиям:
1)
в точности тогда, когда
2)
для всex
3)
для всex
.
Множество с заданной на нём метрикой называют метрическим пространством.
Определение. Нормированным пространством называется линейное пространство
над полем вещественных или комплексных чисел с заданной на, нем, функцией
, называемой нормой и удовлетворяющей следующим условиям:
(i)
лишь при
,
(ii)
для всex
и всех скаляров
,
(iii) (неравенство треугольника)
для всех векторов
.
Из условий (i) и (iii) следует, что всякое нормированное пространство оказывается метрическим пространством, если в качестве расстояния между
и
взять
.
Определение. Евклидовым пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство
с заданным скалярным произведением, т. е. функцией
на
со значениями в соответствующем поле скаляров, удовлетворяющей следующим условиям:
(i)
, причем
лишь при
,
(ii)
для всex
(в вещественном случае это значит, что
),
(iii)
для всex
и всех скаляров
,
.
Если
, то пишym
и называют векторы
и
взаимно ортогональными.
Определение.
– это