Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Лемма о монотонной последовательности простых функций/Доказательство
Внешний вид
Любая ограниченная возрастающая последовательность сходится. Покажем, что множество таких , для которых неограничены, имеет меру нуль.
Пусть ,
Так как неотрицательны,
Следовательно, . Так как монотонно возрастает, , и содержится в объединении . Значит,