Перейти к содержанию

Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Мотивация введения понятия абсолютно непрерывных функций

Материал из Викиверситета

Интересует такой вопрос:

Если - непрерывная функция с ограниченной вариацией, то будет ли всегда верно, что

?

Ответ - нет.

Пример. (Лестница дьявола, в наших обозначениях - ) Полная вариация этой функции равна , значит, она ограниченной вариации. Это непрерывная функция, постоянная на открытых интервалах, формирующих дополнение к канторову множеству. Последнее имеет меру 0, значит,

почти всюду.

Нам хотелось бы, чтобы интеграл функции, равной нулю почти всюду, был постоянной функцией, однако не константа. Нужно более сильное условие - абсолютная непрерывность.

Покажем, что лестница дьявола не абсолютно непрерывна.

Пусть . Наша функция увеличивается на от до , так что наш ответ должен быть меньше, чем . Но рост в просиходит также и на интервалах и . Наша должна быть меньше, чем . Но то же самое происходит, когда мы рассмотрим следующие 4 интервала, каждый длины . Ответ тогда должен быть меньше, чем . Продолжая в том же духе, мы видим, что для каждого натурального

Таким образом, подходящего не существует.