Участник:Isbur/Функциональный анализ I/Карточки/Описания компакта

Пусть $K$ - множество в метрическом пространстве $X$. Следующие условия равносильны:

1. Множество $K$ компактно;
2. Всякая бесконечная часть $K$ имеет предельную точку из $K$;
3. Всякая бесконечная последовательность в $K$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к точке из $K$;
4. Множество $K$ вполне ограниченно и полно.

В частности, если $X$ полно, то компактность $K$ равносильна вполне ограниченности и замкнутости.