Теорема. Пусть
- последовательность измеримых функций,
почти всюду на
, тогда
- измеримая функция.
Доказательство[править]
Любое множество внешней меры нуль измеримо[1], значит, любое подмножество множества нулевой меры тоже имеет меру нуль.
Существует множество
меры нуль такое, что
для любого
, где
. Выберем некоторое
, тогда множества
не обязательно совпадают, но любой элемент, который есть в одном, но нет в другом, должен быть в
.
Пусть
.
измеримо[2].
и
- подмножества
, значит, они тоже измеримы.
[3], значит,
измеримо.
- ↑ Ссылка на теорему 5.5
- ↑ Ссылка на предложение 6.4
- ↑ Ссылка на упражнение 1.2.14