Доказательство. Пусть
. Положим
,
Покажем, что последовавелвностъ
фундаментальна. Для этого заметим, что
Поэтому
оценивается через (неравенство треугольника):
что дает
(сумма геометрической прогрессии). Из этой оценки и условия
следуют фундаментальность
и существование предела
. Очевидно, что
ввиду непрерывности
. Единственность неподвижной точки ясна из того, что
для другой неподвижной точки
. Очевидна и оценка скорости сходимости.