Экстремумы функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Определение. Пусть функция $f(x_{1}\dots x_{n})$ определена на множестве $E\in \mathbb {R} ^{n}$ и точка $x^{o}\in E$. Точка $x^{o}$ называется точкой локального минимума (максимума) функции $f(x_{1}\dots x_{n})$ если $\exists U(x^{o}):\forall x\in U(x^{o})\cap E:f(x)\geq f(x^{o})(f(x)\leq f(x^{o})))$. Точки локального минимума (максимума) называются точками локального экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума).  Пусть функция $f(x_{1}\dots x_{n})$ определена в $U(x^{o})$ и имеет локальный экстремум в точке $x^{o}$. Если $\exists {\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{k}}}(x^{o}),1\leq k\leq n$,

то ${\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{k}}}(x^{o})=0\forall k=1\dots n$.

Доказательство. Докажем это для случая $k=1:\exists {\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{1}}}(x^{o})$. Рассмотрим функцию $f(x_{1},x_{2}^{o}\dots x_{n}^{o})$ - функцию одной переменной $x_{1}$. Так как функция $f(x_{1}\dots x_{n})$ имеет локальный экстремум в точке $x^{o}=(x_{1}^{o}\dots x_{n}^{o})$, то функция одной переменной также имеет локальный экстремум в точке $x_{1}^{o}$.

Так как $\exists {\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{1}}}(x^{o})$, то эта производная является обычной производной функции одной переменной $f(x_{1}^{o},x_{2}^{o}\dots x_{n}^{o})$ в точке $x_{1}^{o}$. Тогда используя необходимое условие локального экстремума для функции одной перменной получаем ${\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{1}}}(x^{o})=0$. Аналогично: Если $\exists {\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{k}}}(x^{o}),2\leq k\leq n$ получаем ${\frac {\partial \!f}{\partial \!x_{k}}}(x^{o})=0$.

Следствие. Если функция $f(x_{1}\dots x_{n})$ определена в $U(x^{o})$ и имеет в точке $x^{o}$ локальный экстремум и дифференцируема в точке $x^{o}$, то $df(x^{o})=0$

Теорема (достаточное условие локального экстремума).  Пусть функция $f(x_{1}\dots x_{n})$ определена в $U_{\sigma }(x^{o})$ и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Пусть $df(x^{o})=0$. Если $d^{2}f(x^{o})$ является знакоопределенной квадратичной формой, тогда $x^{o}$ - точка локального экстремума, причем если $d^{2}f(x^{o})>0\Rightarrow x^{0}$ - локальный минимум, а если $d^{2}f(x^{o})<0\Rightarrow x^{o}$ - локальный максимум.

Доказательство. Рассмотрим $\forall (x_{1}^{o}+\Delta x_{1}\dots x_{n}^{o}+\Delta x_{n})\in U_{\sigma }(x^{o})$. Так как функция $f$ имеет непрерывные частные производные до второго порядка в $U_{\sigma }(x^{o})$, то функцию $f$ можно разложить по формуле Тейлора в точке $x^{o}$ до первого порядка

$f(x_{1}^{o}+\Delta x_{1}\dots x_{n}^{o}+\Delta x_{n})-f(x^{o})={\frac {df(x^{o})}{1!}}+{\frac {d^{2}f(x^{o}+\theta \Delta x)}{2!}}$, где $x^{o}+\theta \Delta x=(x_{1}^{o}+\theta _{1}\Delta x_{1}\dots x_{n}^{o}+\theta _{n}\Delta x_{n}),|\theta _{i}|<1,i=1\dots n$ $\Rightarrow \Delta f(x^{o})={\frac {1}{2}}d^{2}f(x^{o}+\theta \Delta x)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}^{n}({\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o}+\theta \Delta x)\Delta x_{i}\Delta x_{j})$.

Так как ${\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}$ - непрерывна в $U_{\sigma }(x^{o})\Rightarrow$ непрерывна в точке $x^{o}\Rightarrow (k=1\dots n)\exists \lim \limits _{\Delta x_{k}\to 0}{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o}+\theta \Delta x)={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o}),i,j=1\dots n\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o}+\theta \Delta x)={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o})+\alpha _{i,j}(\Delta x)$, где $\alpha _{i,j}(\Delta x)$ - бесконечно малая функция при $\Delta x\to 0,i,j,k=1\dots n\Rightarrow \Delta f(x^{o})={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}^{n}({\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o})\Delta x_{i}\Delta x_{j}+\sum \limits _{i,j}^{n}\alpha _{i,j}(\Delta x)\Delta x_{i}\Delta x_{j})$

Обозначим $\rho ={\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\dots +\Delta x_{n}^{2}}},\xi _{k}={\frac {\Delta x_{k}}{\rho }},k=1\dots n,$

$\sum \limits _{i,j}^{n}{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial \!x_{i}\partial \!x_{j}}}(x^{o})\xi _{i}\xi _{j}=A(\xi ),\sum \limits _{i,j}^{n}\alpha _{i,j}(\Delta x)\xi _{i}\xi _{j}=\alpha (\Delta x)\Rightarrow \Delta f(x^{o})={\frac {\rho ^{2}}{2}}(A(\xi )+\alpha (\Delta x))$

$|\alpha (\Delta x)|\leq \sum \limits _{i,j}^{n}|\alpha _{i,j}(\Delta x)|\rightarrow [\Delta x_{k}\to 0]{k=1\dots n}0\Rightarrow \alpha (\Delta x)$ - бесконечно малая функция при $\Delta x_{k}\to 0,k=1\dots n$.

Пусть $d^{2}f(x^{0})>0\Rightarrow A(\xi )>0,\forall \xi =(\xi _{1}\dots \xi _{n})$, где $\xi _{k}={\frac {\Delta x_{k}}{\rho }},k=1\dots n$.

Получаем: $\xi _{1}^{2}+\dots +\xi _{n}^{2}={\frac {\Delta x_{1}^{2}}{\rho ^{2}}}+\dots +{\frac {\Delta x_{n}^{2}}{\rho ^{2}}}=1\Rightarrow \xi$ лежит на $S$ - сфере единичного радиуса с центром в начале координат. $S$ - компакт. $A(\xi )$ - непрерывна на компакте $S\Rightarrow$ она достигает на нём своей точной нижней грани $\mu$.

$\xi ^{*}\in S\Rightarrow |\xi ^{*}|\not =0$. В случае если A - положительно определённая квадратичная форма, имеем: $\mu >0$

Так как $\alpha (\Delta x)$ - бесконечно малая при $\Delta x_{k}\to 0,k=1\dots n\Rightarrow$ для $\varepsilon ={\frac {\mu }{2}}>0:\exists \delta _{1},\forall \Delta x_{k}:{\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\dots +\Delta x_{n}^{2}}}<\delta _{1}\Rightarrow |\alpha (\Delta x)|<{\frac {\mu }{2}}\Rightarrow$ в $U_{\delta _{1}}(x^{o}):\Delta f(x^{o})={\frac {\rho ^{2}}{2}}(A(\xi )+\alpha (\Delta x))\geq {\frac {\rho ^{2}}{2}}(A(\xi )+|\alpha (\Delta x))|\geq {\frac {\rho ^{2}}{2}}(\mu -{\frac {\mu }{2}})={\frac {\rho ^{2}}{4}}\mu >0\Rightarrow \Delta f(x^{o})>0\Rightarrow x^{o}$ точка локального минимума. Аналогично доказывается что если $d^{2}f(x^{o})<0$, то $x^{o}$ - точка локального максимума. Доказательство в случае, если $A$ - отрицательно определённая квадратичная форма, можно провести аналогично.

Рассмотрим отдельно третий возможный случай, когда $A$ - знакопеременная квадратичная форма. В рассматриваемом ограничении окрестности точки $x^{0}$ на единичную сферу, квадратичная форма A имеет точную нижнюю грань $\mu$ и точную верхнюю грань $M$, такие, что $\mu <0<M$. Взяв соотвествующие точки $\xi _{\mu },\xi _{M}$, такие что $\mu =A(\xi _{\mu }),M=A(\xi _{M})$, получим: $\Delta f(x^{o})={\frac {\rho ^{2}}{2}}(A(\xi _{\mu })+\alpha (\Delta x))={\frac {\rho ^{2}}{2}}(\mu +\alpha (\Delta x))$, и в то же время: $\Delta f(x^{o})={\frac {\rho ^{2}}{2}}(A(\xi _{M})+\alpha (\Delta x))={\frac {\rho ^{2}}{2}}(M+\alpha (\Delta x))$. Отсюда видно что правая часть уравнений меняет знак, значит в точке $x^{0}$ экстремума нет.