Непрерывные функции

Непрерывные функции.

Определение. Функция $f(x)$ непрерывна в точке$x_{0}$, если

1. ${\underset {x\to x_{0}}{\lim }}f(x)=f(x_{0})$
2. $\forall \{x_{n}\}:{\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=x_{0},{\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=f(x_{0})$
3. $\forall \varepsilon >0\exists \delta (\varepsilon ):\forall x|x-x_{0}|<\delta |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$

Теорема. Пусть функция$f(x)$ непрерывна в точке$x_{0}$, тогда $\exists \delta >0,M>0:\forall x|x-x_{0}|<\delta |f(x)|\leqslant M.$

Теорема. Пусть функция$f(x)$ непрерывна в точке$x_{0}$ и$f(x)\not =0$ , тогда $\exists \delta >0,M>0:\forall x|x-x_{0}|<\delta |f(x)|\geqslant M.$

Теорема. Пусть функции$f(x),g(x)$ непрерывны в точке$x_{0}$ тогда:

1. $f(x)\pm g(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$
2. $f(x)g(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$
3. если $g(x)\not =0$ то ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ непрерывна в точке $x_{0}$

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение. $f(x)$ непрерывна на$(a,b)(f(x)\in C(a,b))$ если $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0},\forall x_{0}\in (a,b)$

Определение. $f(x)$ непрерывна на$[a,b](f(x)\in C[a,b])$ если $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0},\forall x_{0}\in (a,b)$ и $\exists {\underset {x\to b-0}{\lim }}f(x)=f(b),{\underset {x\to a+0}{\lim }}f(x)=f(a).$

Теорема. Пусть$f(x)$ определена на$[a,b]$ и$f(x)\in C[a,b]$ причём$f(a)f(b)<0$ тогда $\exists x^{*}\in (a,b):f(x^{*})=0$

Доказательство. пусть $f(a)<0,f(b)>0$ используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим $a_{0}=a,b_{0}=b$. определим $f\left({\frac {a_{o}+b_{0}}{2}}\right).$

1. $f\left({\frac {a_{o}+b_{0}}{2}}\right)=0\Rightarrow x^{*}={\frac {a_{o}+b_{0}}{2}}.$
2. $f\left({\frac {a_{o}+b_{0}}{2}}\right)<0\Rightarrow a_{1}={\frac {a_{o}+b_{0}}{2}},b_{1}=b_{0}.$
3. $f\left({\frac {a_{o}+b_{0}}{2}}\right)>0\Rightarrow b_{1}={\frac {a_{o}+b_{0}}{2}},a_{1}=a_{0}.$ и так далее

$\forall n\Delta _{n}=[a_{n},b_{n}].\Delta _{0}\supset \Delta _{1}\supset \dots \supset \Delta _{n}\supset \dots .f(a_{n})<0,f(b_{n})>0,|b_{n}-a_{n}|={\frac {b_{0}-a_{0}}{2^{n}}}$

по лемме о вложенных отрезках: $\exists x^{*}:x^{*}\in \Delta _{n}\forall n\Rightarrow \forall na_{n}\leqslant x^{*}\leqslant b_{n}.$

$f\in C[a,b]\Rightarrow f(x)$ непрерывна в точке $x^{*}\in [a,b]\Rightarrow {\underset {x\to x^{*}}{\lim }}f(x)=f(x^{*})$

$\left.{\begin{matrix}0\leqslant |a_{n}-x^{*}|\leqslant |b_{n}-a_{n}|={\frac {b_{0}-a_{0}}{2^{n}}}{\underset {n\to \infty }{\rightarrow }}0;\\\exists {\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=x^{*}\Rightarrow {\underset {x\to x^{*}}{\lim }}f(x)=f(x^{*})\leqslant 0\\0\leqslant |b_{n}-x^{*}|\leqslant |b_{n}-a_{n}|={\frac {b_{0}-a_{0}}{2^{n}}}{\underset {n\to \infty }{\rightarrow }}0;\\\exists {\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=x^{*}\Rightarrow {\underset {x\to x^{*}}{\lim }}f(x)=f(x^{*})\geqslant 0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow f(x^{*})=0$

Теорема Вейерштрасса(первая).  Пусть $f(x)\in C[a,b]$тогда$f(x)$ ограничена на $[a,b]$

Доказательство. Докажем, что: $\exists M:\forall x\in [a,b]f(x)\leqslant M$.

Предположим противное, то есть$\forall M>0\exists x\in [a,b]:|f(x)|>M$ возьмём $M=1,2,3,\dots$ получим $\{x_{n}\}$:

1. $x_{n}\in [a,b]\forall n$.
2. $|f(x_{n})|>n$. из этих определений получаем ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=\infty$

$x_{n}\in [a,b]\Rightarrow \exists \{x_{n_{k}}\}$- подпосл-ть посл-ти $\{x_{n}\}:{\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n_{k}}=x^{*}$

$\{x_{n_{k}}\}\in [a,b]\Rightarrow x^{*}\in [a,b]\Rightarrow f(x)$ - непрерывна в точке$x^{*}\Rightarrow {\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n_{k}})=f(x^{*})$

$\{x_{n_{k}}\}$- подпосл-ть посл-ти $\{x_{n}\}:{\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=\infty \Rightarrow {\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n_{k}})=\infty$ - противоречие.

Теорема Вейерштрасса(вторая).  Пусть $f(x)\in C[a,b]$тогда$\exists x_{1},x_{2}\in [a,b]:f(x_{1})=\sup _{[a,b]}f(x),f(x_{2})=\inf _{[a,b]}f(x)$

Доказательство. По условию теоремы $f(x)\in C[a,b]\Rightarrow f(x)$ ограничена на $[a,b]\Rightarrow \exists M:M=\sup _{[a,b]}f(x).$

Докажем, что $\exists x_{1}\in [a,b]:f(x_{1})=M.$

Предположим противное, то есть $\forall x\in [a,b]f(x)<M$. Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}>0$на $[a,b].$ По первой теореме Вейерштрасса $g(x)\in C[a,b]\Rightarrow$ ограничена на $[a,b],$ то есть $\exists C>0:{\frac {1}{M-f(x)}}\leqslant C,\forall x\in [a,b]$

$M-f(x)\geqslant {\frac {1}{C}};f(x)\leq M-{\frac {1}{C}};M-{\frac {1}{C}}(<M)$ - верхняя граница.

$M=\sup _{[a,b]}f(x),$ то есть $\forall \varepsilon >0\exists x\in [a,b]:f(x)\geqslant M-\varepsilon$ - противоречие.