Основы математического анализа
Я уверился в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком,
но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью и определённостью;
а потом уже утверждаться упражнением,
чтоб могли через то глубже напечатлеться в памяти
и с лёгкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях.
Аксиоматика множества действительных чисел (аксиомы поля, линейного порядка, аксиома полноты, аксиомы, связывающие сложение и порядок, умножение и порядок). Алгебраические свойства действительных чисел.
Теорема о существовании и единственности точной грани непустого ограниченного числового множества.
Числовая прямая. Определение действительного числа по Коши, Дедекинду. Теорема Коши-Кантора о последовательности вложенных сегментов. Сегментное определение действительных чисел.
Покрытие множества. Теорема Бореля-Лебега о возможности выбора конечного подпокрытия всякого покрытия отрезка интервалами.
Предельная точка числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки ограниченного числового множества.
Последовательность, подпоследовательность. Предел числовой последовательности, сходящаяся последовательность. Свойства пределов последовательностей.
Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
Функция. Композиция функций. Обратная функция.
Предел функции, свойства пределов. Вопросы существования предела функции, теорема о пределе композиции функций. Замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функции, непрерывной на отрезке принимать промежуточные значения, быть ограниченной, достигать своих точных граней. Равномерная непрерывность функции.
Дифференциальное исчисление
[править]Производные и дифференциалы, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования: дифференцирование и арифметические операции, дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции, таблица производных элементарных функций. Теорема Лагранжа о конечном приращении и ее следствия. Формула Тейлора, правило Лопиталя. Применение к приближенным вычислениям. Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.
Интегральное исчисление
[править]Неопределённый интеграл. Условия интегрируемости функции. Интегрирование некоторых элементарных функций. Основные правила интегрирования, интегрирование путём замены переменных, по частям.
Интегральная сумма, определённый интеграл. Классы интегрируемых функций. Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Интегральный признак сходимости числовых рядов.
Длина дуги кривой. Площадь плоской фигуры. Объём тела. Площадь поверхности.
Некоторые физические приложения определённого интеграла.
Ряды
[править]Числовой ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.
Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости таких рядов, теорема сравнения.
Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда, признаки Коши и Даламбера. Сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов.
Функциональный ряд и его область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора показательной и основных тригонометрических функций, логарифмический ряд, биномиальный ряд.
Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье в среднем. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье.
В данном разделе указаны печатные издания и интернет-ресурсы.