Определённый интеграл

Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

Пусть $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$. Делим отрезок $[a,b]$ на $n$ частей с помощью точек $x_{1},\dots ,x_{n-1}$, где $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b$. Множество точек $\tau =\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$ называется разбиением отрезка $[a,b]$. Обозначим $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ - длина отрезка $[x_{i-1},x_{i}]$. Обозначим $\lambda =\max {i={\overline {1,n}}}\Delta x_{i}$ - параметр разбиения $\tau$.

На каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ выберем произвольно точку $\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$.

Составим интегральную сумму для функции $f$, соответствующую разбиению $\tau :\sigma _{\tau }(f)=\sum f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

Определение. Если $\exists \lim _{\lambda \to 0}\sigma _{\tau }(f)$, не зависящий от разбиения $\tau$ и точек $\xi _{i}$, то этот предел называется определенным интегралом от функции $f$ на отрезке $[a,b]$. Обозначаем $\int _{a}^{b}f(x)dx$

Нижняя и верхняя суммы Дарбу

Пусть $f(x)$ определен на $[a,b]$ рассмотрим $\forall$ разбиение $\tau =\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$ отрезка $[a,b]$. Обозначим: $M_{i}=\sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)$, $m_{i}=\inf _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x),i={\overline {1,n}}$

$s_{\tau }=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$ - нижняя сумма Дарбу для $f(x)$ на $[a,b]$. $S_{\tau }=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$ - верхняя сумма Дарбу.

Критерий интегрируемости

Теорема. Пусть функция $f(x)$ ограничена на $[a,b]$, тогда функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]\Leftrightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}(S_{\tau }-s_{\tau })=0$

Доказательство.

($\Rightarrow$)Пусть $f$ интегрируема на $[a,b]\Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}\sigma _{\tau }(f)=I$. Фиксируем $\forall \varepsilon >0$. Для ${\frac {\varepsilon }{3}}>0\exists \delta >0:\forall \tau :|\lambda |<\delta \Rightarrow |\sigma _{\tau }(f)-I|<{\frac {\varepsilon }{3}}\Rightarrow I-{\frac {\varepsilon }{3}}<\sigma _{\tau }(f)<I+{\frac {\varepsilon }{3}}$, $\forall \tau :|\lambda |<\delta$

для $\forall \tau :|\lambda |<\delta \quad \sup _{\{\xi _{1},...,\xi _{n}\}}\sigma _{\tau }(f)\leq I+{\frac {\varepsilon }{3}}\Rightarrow S_{\tau }\leq I+{\frac {\varepsilon }{3}}$

аналогично: $s_{\tau }>I-{\frac {\varepsilon }{3}};\forall \tau :|\lambda |<\delta$

$0\leq S_{\tau }-s_{\tau }\leq {\frac {2\varepsilon }{3}}<\varepsilon \Rightarrow |S_{\tau }-s_{\tau }|<\varepsilon ;\forall \tau :|\lambda |<\varepsilon \Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}(S_{\tau }-s_{\tau })=0$

($\Leftarrow$) $\exists \lim _{\lambda \to 0}(S_{\tau }-s_{\tau })=0$

$f$ - ограничена на $[a,b]\Rightarrow s_{\tau }\leq {\underline {I}}\leq {\overline {I}}\leq S_{\tau }=0\forall \tau \Rightarrow {\begin{matrix}0\leftarrow [rd]&\leq {\overline {I}}-{\underline {I}}\leq &S_{\tau }-s_{\tau }\leftarrow [ld]\\&0&\end{matrix}}\quad \forall \tau \Rightarrow \exists \lim({\overline {I}}-{\underline {I}})=0\Rightarrow {\overline {I}}-{\underline {I}}=0\Rightarrow {\overline {I}}={\underline {I}}=I$ (обозначим)

$s_{\tau }\leq I\leq S_{\tau }\forall \tau \Rightarrow 0\leq I-s_{\tau }\leq S_{\tau }-s_{\tau }\forall \tau \Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}(I-s_{\tau })=0\Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}s_{\tau }=I$

$0\leq S_{\tau }-I\leq S_{\tau }-s_{\tau }\forall \tau \Rightarrow \exists \lim(S_{\tau }-I)=0\Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}S_{\tau }=I$

${\begin{matrix}s_{\tau }\leftarrow [rd]&\leq \sigma _{\tau }(f)\leq &S_{\tau }\leftarrow [ld]\\&I&\end{matrix}}\Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}\sigma _{\tau }(f)=I\Rightarrow f$ интегрируема.

Теорема. Если функция $f$ непрерывна на $[a,b]$, то $f$ интегрируема на $[a,b]$

Доказательство. $f$ - непрерывна на $[a,b]\Rightarrow f$ - ограничена на $[a,b]$, $f$ - равномерно непрерывна на $[a,b]$

Фиксируем $\forall \varepsilon >0$

для ${\frac {\varepsilon }{b-a}}>0\quad \exists \delta >0\quad \forall \xi ,\eta \in [a,b]\quad |\xi -\eta |<\delta ,|f(\xi )-f(\eta )|<{\frac {\varepsilon }{b-a}}$

Рассмотрим $\forall \tau =\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$ отрезка $[a,b]$. $f$ непрерывна на $[a,b]\Rightarrow f$ непрерывна на $\forall [x_{i-1},x_{i}]i={\overline {1,n}}\Rightarrow \exists \xi _{i},\eta _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]:f(\xi _{i})=\inf _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)=m_{i}$; $f(\eta _{i})=\sup _{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)=M_{i}$, $\forall i={\overline {1,n}}$

Рассмотрим $S_{\tau }-s_{\tau }=\sum (M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}=\sum (f(\eta _{i})-f(\xi _{i}))\Delta x_{i}$

Пусть $\lambda <\delta \Rightarrow \Delta x_{i}<\delta \forall i={\overline {1,n}}\Rightarrow |\xi _{i}-\eta _{i}|<\delta ,\forall i={\overline {1,n}}\Rightarrow |f(\xi _{i})-f(\eta _{i})|<{\frac {\varepsilon }{b-a}},\forall i={\overline {1,n}}$ $\Rightarrow S_{\tau }-s_{\tau }<{\frac {\varepsilon }{b-a}}\sum \Delta x_{i}=\varepsilon \Rightarrow 0<S_{\tau }-s_{\tau }<\varepsilon$, $\forall \tau :\lambda <\delta \Rightarrow \exists \lim _{\lambda \to 0}(S_{\tau }-s_{\tau })=0\Rightarrow f$ интегрируема на $[a,b]$

Свойства интегрируемых функций

1. $\int _{a}^{b}dx=b-a$
2. $f(x),g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, тогда $[f(x)+g(x)]$ - интегрируемы на $[a,b]$ и справедливо: $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx$
3. $f(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, тогда $(k\cdot f(x))$ интегрируема на $[a,b]$ и справедливо: $\int _{a}^{b}kf(x)dx=k\int _{a}^{b}f(x)dx$
4. $f(x)$ - интегрируема на $[a,c]$ и $[c,b]$, тогда $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и справедливо: $\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$
5. $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, $f(x)\leq g(x),\forall x\in [a,b]$ тогда: $\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx$
6. $f(x)$ - интегрируема на $[a,b]$, тогда $|f(x)|$ - интегрируема на $[a,b]$ и: $|\int _{a}^{b}f(x)dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx$

Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть $f(x)$ - интегрируема на $[a,b]$, тогда $f$ интегрируема на $\forall [a,x]\subset [a,b]$. Обозначим $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$, $x\in [a,b]$. Функция $F(x)$ называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства $F(x)$

Теорема. Пусть $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ тогда $F(x)$ непрерывна на $[a,b]$

Доказательство. Фиксируем $\forall x\in [a,b]$ и рассмотрим $\Delta x:(x+\Delta x)\in [a,b]\Rightarrow F(x+\Delta x)-F(x)=\int _{a}^{x+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x}f(t)dt=\int _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt\Rightarrow |\Delta F(x)|=|\int _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt|$

$f$ интегрируема на $[a,b]\Rightarrow f$ ограничена на $[a,b]\Rightarrow \exists M>0:|f(t)|\leq M$, $\forall t\in [a,b]\Rightarrow |f(t)|\leq M$, $\forall t\in [x,x+\Delta x]\Rightarrow |\int _{x}^{x+\Delta x}f(t)dt|\leq |\int _{x}^{x+\Delta x}|f(t)|dt|\leq M\Delta x$; $0\leq |\Delta F(x)|\leq M\Delta x$

Если $\Delta x\to 0$, то $\exists \lim _{\Delta x\to 0}(\Delta F(x))=0\Rightarrow F$ непрерывна в точке $x$

Теорема. Пусть $f$ интегрируема на $[a,b]$ и непрерывна в точке $x_{0}\in [a,b]$, тогда $F(x)$ дифференцируема в точке $x_{0}$ и $\left.F'(x)\right|_{x_{0}}=f(x_{0})$

Доказательство. Рассмотрим $\Delta x:(x_{0}+\Delta x)\in [a,b]\Rightarrow$

${\frac {F(x_{0}+\Delta x)-F(x_{0})}{\Delta x}}={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}(f(t)-f(x_{0}))dt+$

$+{\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(x_{0})dt=I+f(x_{0})$

Докажем, что $\lim _{\Delta x\to 0}I=0$. Фиксируем $\forall \varepsilon >0$

Функция $f$ - непрерывна в точке $x_{0}\Rightarrow$ для $\varepsilon >0\exists \delta >0:|\Delta x|<\delta \quad |f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

$t\in [x_{0},x_{0}+\Delta x]\Rightarrow |t-x_{0}|\leq |\Delta x|\leq \delta \Rightarrow |f(t)-f(x_{0})|<\varepsilon \Rightarrow |I|={\frac {1}{|\Delta x|}}|\int _{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}(f(t)-f(x_{0}))dt|\leq {\frac {1}{\Delta x}}|\int _{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}|f(t)-f(x_{0})|dt|<{\frac {\varepsilon }{\Delta x}}|\int _{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}dx|=\varepsilon \Rightarrow \lim _{\Delta x\to 0}I=0\Rightarrow \exists \lim {\frac {\Delta F(x_{0})}{\Delta x}}=f(x_{0})\Rightarrow \exists \left.F'(x)\right|_{x_{0}}=f(x)$

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема (формула Ньютона-Лейбница).  Пусть $f$ - непрерывна на $[a,b]\Rightarrow$ $\Phi (x)$ - первообразная функции $f$ на $[a,b]$. Тогда $\int _{a}^{b}f(x)dx=\Phi (b)-\Phi (a)$

Доказательство. $f$ - непрерывна на $[a,b]\Rightarrow F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ - первообразная $f(x)$ на $[a,b]$ так как $\Phi$ тоже первообразная $f(x)$ на $[a,b]\Rightarrow F(x)-\Phi (x)=C\quad \forall x\in [a,b]\Rightarrow \int _{a}^{x}f(t)=\Phi (x)+C,\forall x\in [a,b]$.

при $x=a$: $\Phi (a)+C=0\Rightarrow C=-\Phi (a)\Rightarrow \int _{a}^{x}f(t)dt=\Phi (x)-\Phi (a),\forall x\in [a,b]$

при $x=b$ : $\int _{a}^{b}f(t)dt=\Phi (b)-\Phi (a)$.