Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.[править]
Пусть
определена на отрезке
. Делим отрезок
на
частей с помощью точек
, где
. Множество точек
называется разбиением отрезка
. Обозначим
- длина отрезка
. Обозначим
- параметр разбиения
.
На каждом частичном отрезке
выберем произвольно точку
.
Составим интегральную сумму для функции
, соответствующую разбиению
Определение. Если
, не зависящий от разбиения
и точек
, то этот предел называется определенным интегралом от функции
на отрезке
. Обозначаем
Нижняя и верхняя суммы Дарбу[править]
Пусть
определен на
рассмотрим
разбиение
отрезка
. Обозначим:
,
- нижняя сумма Дарбу для
на
.
- верхняя сумма Дарбу.
Критерий интегрируемости[править]
Теорема. Пусть функция
ограничена на
, тогда функция
интегрируема на
Теорема. Если функция
непрерывна на
, то
интегрируема на
Доказательство.
- непрерывна на
- ограничена на
,
- равномерно непрерывна на
Фиксируем
для
Рассмотрим
отрезка
.
непрерывна на
непрерывна на
;
,
Рассмотрим
Пусть
,
интегрируема на
Свойства интегрируемых функций[править]
![{\displaystyle \int _{a}^{b}dx=b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d47e60e28c30aa8b62365d5c5742c2d8eeb9a57)
- интегрируемы на
, тогда
- интегрируемы на
и справедливо: ![{\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132564734fd1fa91324ea12b8ac5d3dd574cebf4)
- интегрируемы на
, тогда
интегрируема на
и справедливо: ![{\displaystyle \int _{a}^{b}kf(x)dx=k\int _{a}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381e4a1f8ed762d07f657dc0a77d70a9525dd969)
- интегрируема на
и
, тогда
интегрируема на
и справедливо: ![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c722a357895ca429e4351a3893ac17b404518c)
и
- интегрируемы на
,
тогда: ![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42e35dd02a0347c335a2c46bad88e25e004c189)
- интегрируема на
, тогда
- интегрируема на
и: ![{\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)dx|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6189dbbbc7bbeecf2e8285843c3cebd966500d49)
Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.[править]
Пусть
- интегрируема на
, тогда
интегрируема на
. Обозначим
,
. Функция
называется интегралом с переменным верхним пределом.
Свойства
[править]
Теорема. Пусть
интегрируема на
тогда
непрерывна на
Доказательство. Фиксируем
и рассмотрим
интегрируема на
ограничена на
,
,
;
Если
, то
непрерывна в точке
Теорема. Пусть
интегрируема на
и непрерывна в точке
, тогда
дифференцируема в точке
и
Формула Ньютона-Лейбница[править]
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть
- непрерывна на
- первообразная функции
на
. Тогда
Доказательство.
- непрерывна на
- первообразная
на
так как
тоже первообразная
на
.
при
:
при
:
.