Производные, дифференциалы

Производная и ее свойства. Правила вычисления производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Производная и её свойства

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности $U(x)$ точки $x$. Пусть $\Delta x$ - приращение аргумента в точке $x$, такое что $(x+\Delta x)\in U(x)$. Тогда соответствующее приращение функции: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$

Определение. Если $\exists$ конечный $\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$, то этот предел называется производной функции $f(x)$ в точке $x$, и обозначается $f'(x)$.

Определение. Функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x$ если $\exists f'(x)$.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в $U(x)$.

Теорема. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то:

1. функция $(f(x)+g(x))$ дифференцируема в точке $x$ и $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
2. функция $(f(x)g(x))'$ дифференцируема в точке $x$ и $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$
3. если кроме того $g(x)\not =0$, то $({\frac {f(x)}{g(x)}})$ - дифференцируема в точке $x$ и $({\frac {f(x)}{g(x)}})'={\frac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^{2}(x)}}$.

Теорема о производной сложной функции.  \\Пусть функция $z=f(x)$ дифференцируема в точке $x_{0}$ и $f(x_{0})=z_{0}$. Пусть функция $g(z)$ дифференцируема в точке $z_{0}$, тогда сложная функция $y(x)=g(f(x))$ дифференцируема в точке $x_{0}$ и справедливо равенство: $y'(x_{0})=g'(z_{0})f'(x_{0})$.

Доказательство. Пусть $\Delta x$ - приращение аргумента $x$ в точке $x_{0}\Rightarrow$ приращение $\Delta y=y(x_{0}+\Delta x)-y(x_{0})=g(f(x_{0}+\Delta x))-g(f(x_{0}))$. Кроме того приращение $f(x):\Delta z=\Delta f(x_{0})=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\Rightarrow f(x_{0}+\Delta x)=z_{0}+\Delta z\Rightarrow \Delta y=g(z_{0}+\Delta z)-g(z_{0})=\Delta g(z_{0})$

Функция $g(z)$ дифференцируема в точке $z_{0}\Rightarrow \exists \lim \limits _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta g}{\Delta z}}=g'(z_{0})\Rightarrow$ по теореме о связи предела с бесконечно маленькой функцией: ${\frac {\Delta g}{\Delta z}}=g'(z_{0})+\alpha (\Delta z)$, где $\alpha (\Delta z)\rightarrow [\Delta z\to 0]{}0\Rightarrow \Delta g=g'(z_{0})\Delta z+\alpha (\Delta z)\Delta z\Rightarrow {\frac {\Delta g}{\Delta x}}=g'(z_{0}){\frac {\Delta z}{\Delta x}}+\alpha (\Delta z){\frac {\Delta z}{\Delta x}}$, функция $z=f(x)$ дифференцируема в точке $x_{0}\Rightarrow$ \\$\Rightarrow \exists \lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta z}{\Delta x}}=f'(x_{0})\Rightarrow {\frac {\Delta z}{\Delta x}}=f'(x_{0})+\beta (\Delta x),\beta (\Delta x)\rightarrow [\Delta x\to 0]{}0$

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=g'(z_{0})(f'(x_{0})+\beta (\Delta x))+\alpha (\Delta z)(f'(x_{0})+\beta (\Delta x))=g'(z_{0})f'(x_{0})+[g'(z_{0})\beta (\Delta x)+f'(x_{0})\alpha (\Delta z)+\alpha (\Delta z)\beta (\Delta x)]$

Покажем, что $[g'(z_{0})\beta (\Delta x)+f'(x_{0})\alpha (\Delta z)+\alpha (\Delta z)\beta (\Delta x)]$ - бесконечно маленькая при $\Delta x\to 0$

$\beta (\Delta x)$ - бесконечно малая $\Rightarrow g'(z_{0})\beta (\Delta x)$ - бесконечно малая функция. $z=f(x)$ дифференцируема в точке $x_{0}\Rightarrow$ она непрерывна в точке $x_{0}\Rightarrow \lim \limits _{\Delta x\to 0}\Delta z=0\Rightarrow \lim \limits _{\Delta x\to 0}\alpha (\Delta z)=0\Rightarrow \alpha (\Delta z)$ - бесконечно малая при $\Delta x\to 0\Rightarrow f'(x_{0})\alpha (\Delta z)$ - бесконечно малая при $\Delta x\to 0\Rightarrow$ по теореме о связи предела и бесконечно малой функции: $\exists \lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=g'(z_{0})f'(x_{0})\Rightarrow y(x)$ дифференцируема в точке $x_{0},y'(x_{0})=g'(z_{0})f'(x_{0})$

Теорема о производной обратной функции.  Пусть функция $f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности $U(x_{0})$, пусть $\exists f'(x_{0})\not =0$, тогда обратная функция $x=f^{-1}(y)$ дифференцируема в точке $y_{0}=f(x_{0})$ и $\left.(f^{-1}(y))\right|_{y=y_{0}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}$

Доказательство. $e=f(x)$ - непрерывна и строго монотонна $\Rightarrow$ обратная функция $x=f^{-1}(y)$ определена в некоторой окрестности $U(y_{0})$, причем $f^{-1}$ непрерывна и строго монотонна в $U(y_{0})$

Пусть $\Delta y$ - приращение аргумента $y$ в точке $y_{0}$. Тогда обратная функция получит соответствующее приращение $\Delta x=f^{-1}(y_{0}+\Delta y)-f^{-1}(y_{0})$, в силу строгой монотонности $f^{-1}\Rightarrow \Delta x\not =0\Rightarrow {\frac {\Delta x}{\Delta y}}={\frac {1}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$. Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_{0}\Rightarrow \exists \lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_{0})$

Функция $f^{-1}$ непрерывна в $y_{0}\Rightarrow \lim \limits _{\Delta y\to 0}\Delta x=0\Rightarrow \exists \lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {1}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}$

Уравнение касательной и нормали

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ - уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_{0},f(x_{0}))$

$y=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})$ - уравнение нормали к графику функции $f(x)$ в точке $(x_{0},f(x_{0}))$

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Пусть функция $f(x)$ определена на $(a,b)$ и дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда на интервале $(a,b)$ определена функция $f'(x)$. Пусть функция $f'(x)$ дифференцируема в некоторой точке $x_{0}\in (a,b)$, то есть $\exists (f'(x))'$. Тогда эта производная называется производной второго порядка функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

$f''(x)=(f'(x))'$ ; $f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'$

Теорема (формула Лейбница).  Пусть $\exists U^{(n)}(x)$ и $V^{(n)}(x)$ в точке $x$. Тогда в этой точке

$\exists (UV)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}C_{n}^{k}U^{(k)}V^{(n-k)}$

Пусть функция $f(x)$ задана и дифференцируема на некотором интервале $(a,b)$, тогда $\exists dy$ для $\forall x\in (a,b)$, причем $dy=f'(x)dx$. Заметим, что функция $dy$ - это функция двух переменных $x$ и $dx$. Рассмотрим функцию $dy$ как функцию переменной $x$ (фиксируем $dx$). Пусть $f'(x)$ имеет производную в некоторой точке $x_{0}\in (a,b)$. Тогда функция $dy$ имеет дифференциал в точке $x_{0}$.

Определение. Дифференциалом второго порядка в точке $x_{0}$ называется дифференциал от дифференциала первого порядка в этой точке и обозначается: $d^{2}y=d(dy)$

$d^{2}(y)=d(dy)=d(f'(x)dx)=(f'(x)dx)'dx=dx(f'(x))'dx=f''(x)dx^{2}$

Аналогично определим дифференциа любого порядка. Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема $(n-1)$ раз на интервале $(a,b)$ и $\exists f^{(n)}(x_{0})$ для некоторой точки $x_{0}\in (a,b)$.

Определение. Дифференциалом порядка $n$ функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ называется дифференциал от дифференциала $(n-1)$ порядка в этой точке и обозначается: $d^{n}y$

$d^{n}y=d(d^{n-1}y);\quad d^{n}y=f^{(n)}(x_{0})dx^{n}$

Формула Тейлора.

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_{0}$, тогда $\Delta y={\rm {A}}\Delta x+\varepsilon (\Delta x)$, где $\Delta y=y-y_{0};\Delta x=x-x_{0};{\rm {A}}=f'(x_{0})$; $\varepsilon (\Delta x)$ - бесконечно малая более высокого порядка чем $\Delta x$.

${\begin{array}{l}y=y_{0}+f'(x_{0})(x-x_{0})+\varepsilon (\Delta x)\\y=P_{1}(x)+\varepsilon (\Delta x)\\\end{array}}$

где $P_{1}(x)-$линейная функция, причем $P_{1}(x_{0})=y_{0}$.

Можно расписать, что $y(x)=P_{1}(x)+{\overline {\overline {o}}}(x-x_{0})$, т.е в окрестности точки $x_{0}$ функция $f(x)$ ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции $y=f(x)$ найти многочлен порядка $n$, который обладает следующими свойствами:

$f(x_{0})=P_{n}(x_{0}),f'(x_{0})=P_{n}'(x_{0}),f''(x_{0})=P_{n}''(x_{0}),f^{(n)}(x_{0})=P_{n}^{(n)}(x_{0})$

Многочлен $P_{n}(x)$ будем писать в виде

$P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}$

Тогда:

${\begin{matrix}P_{n}(x_{0})&=&a_{0}&=&f(x_{0})\\P_{n}'(x_{0})&=&1!a_{1}&=&f'(x_{0})\\P_{n}''(x_{0})&=&2!a_{2}&=&f''(x_{0})\\\vdots \\P_{n}^{(n)}(x_{0})&=&n!a_{n}&=&f^{(n)}(x_{0})\\\end{matrix}}$

Первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для $P_{n}(x)$ и подстановки $x=x_{0}$. Вторые равенства - это требуемые свойства многочлена.

Поскольку у $f(x)$ существует производная до n порядка включительно $\Rightarrow$ можно найти коэффициенты $a_{k}={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}},k=0,1,2..$

Многочлен $P_{n}(x)$, $a_{k}={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}$ , $P{}_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{x}(x-x_{0})^{k}}$ - многочлен Тейлора для функции f(x).

Обозначим $r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)\quad {\begin{array}{l}r_{n}(x_{0})=f(x_{0})-P_{n}(x_{0})=0\\r_{n}'(x_{0})=f'(x_{0})-P_{n}'(x_{0})=0\\r_{n}^{(n)}(x_{0})=f^{(n)}(x_{0})-P_{n}^{(n)}(x_{0})=0\\\end{array}}$

Рассмотрим функцию $\varphi (x)=(x-x_{0})^{n}$ и вычислим

${\begin{array}{l}\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {r_{n}(x)}{\varphi (x)}}=\left[{\frac {0}{0}}\right]=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {r_{n}'(x)}{n(x-x_{0})^{n-1}}}=\left[{\frac {0}{0}}\right]\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {r_{n}''(x)}{n(n-1)(x-x_{0})^{n-2}}}\left[{\frac {0}{0}}\right]...=\\=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {r_{n}^{(n)}(x)}{n!}}={\frac {r_{n}^{(n)}(x_{0})}{n!}}=0\Rightarrow \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}}=0\Rightarrow r_{n}(x)={\overline {\overline {o}}}((x-x_{0})^{n})\\\end{array}}$

Т.о получим $f(x)=P_{n}(x)+{\overline {\overline {o}}}((x-x_{0})^{n})$, $r_{n}(x)$ - остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция $f(x)$ определена на интервале $(a,b)$ и в каждой точке $x_{0}$ принадлежащей интервалу $(a,b)$ имеем производную до $n$ порядка включительно, тогда

$f(x)=P_{n}(x)+{\overline {\overline {o}}}((x-x_{0})^{n})$, где $P{}_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}(x-x_{0})^{k},a_{k}={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}}$

Теорема о единственности многочлена Тейлора.  Пусть функция $f(x)$ представлена в окрестности точки $x_{0}$ многочлена

вида $\sum _{k=0}^{n}{b_{k}\left({x-x_{0}}\right)^{k}}$,тогда $b_{k}={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}$

Доказательство. Если $f(x)\approx \sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}(x-x_{0})^{k},}$ где $a_{k}={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}$, то это и есть её многочлен Тейлора.

Пусть есть другой многочлен

$\sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}(x-x_{0})^{k}}\quad$

и

$\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}(x-x_{0})^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}(x-x_{0})^{k}}}$

Надо показать, что коэффициенты одинаковы $a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+b_{2}(x-x_{0})^{2}+...+b_{n}(x-x_{0})^{n}$

Пусть $x=x_{0}\Rightarrow a_{0}=b_{0}$ сократим на $x-x_{0}$

$a_{1}+a_{2}(x-x_{0})+...+a_{n}(x-x_{0})^{n-1}=b_{1}+...+b_{n}(x-x_{0})^{n-1}$.

Пусть $x=x_{0}\Rightarrow a_{1}=b_{1}$ сократим на $x-x_{0}$ и т.д. $a_{n}=b_{n}\Rightarrow$ многочлен Тейлора единственен.