В пространстве кусочно-непрерывных на
функций рассмотрим так называемую тригонометрическую систему функций
Система
является ортогональной в пространстве кусочно-непрерывных на
функций. Докажем это:
Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции
находятся по формулам
(обозначение)
![{\displaystyle c_{2k-1}={\frac {(f,\cos kx)}{(\cos kx,\cos kx)}}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kxdx=a_{k},k=1,2,\dots (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cde3e08ff9b396dc5480f60bb58393cb76214)
![{\displaystyle c_{2k}={\frac {(f,\sin kx)}{(\sin kx,\sin kx)}}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin kxdx=b_{k},k=1,2,\dots (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05da393bf9d371eaf66db934126159b8cc55b20f)
Формальный ряд
, где коэффициенты
вычисляются по формулам
называется тригонометрическим рядом Фурье функции
. Формулы
называются формулами Эйлера-Фурье.
Вопросы: при каких условиях на функцию
ряд
сходится? сходится к функции
?
Определение. Функция называется кусочно-монотонной на
, если отрезок
можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.
Обозначим:
и
Пусть
- бесконечномерное Евклидово пространство (например непрерывных на
функций)
- скалярное произведение.
Определение. Функция называется кусочно непрерывной на
функцией, если она непрерывна на
за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода.
Определение. Система функций
- ортонормированная система функций из
. Пусть
. Тогда числа
называются коэффициентами Фурье элемента
по ортонормированной системе
. Формальный ряд
называется обобщенным рядом фурье элемента
по ортонормированной системе
(где
- коэффициенты Фурье элемента
по ортонормированной системе
)
Частные случаи:
- Пусть
- нечетная функция
- нечетная функция.
. Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид ![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }b_{k}\sin kx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c098d490573b6d581ee8bc6522aa5cf0273f30ae)
- Пусть
- четная функция
- нечетная функция.
. Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид ![{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos kx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a0830936a883b5f16046952b15dbe61ed41bfd)