Ряды Фурье

В пространстве кусочно-непрерывных на $[-\pi ;\pi ]$ функций рассмотрим так называемую тригонометрическую систему функций

$(1):1,\cos x,\sin x,\cos 2x,sin2x,\dots ,cosnx,sinnx,\dots$

Система $(1)$ является ортогональной в пространстве кусочно-непрерывных на $[-\pi ;\pi ]$ функций. Докажем это:

$(1,cosnx)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=\left.{\frac {\sin nx}{n}}\right|_{-\pi }^{\pi }=0$

$(1,sinnx)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=-\left.{\frac {\cos nx}{n}}\right|_{-\pi }^{\pi }=0$

$n\not =m:(\cos nx,\cos mx)={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x]dx={\frac {1}{2}}\left.({\frac {\sin(n+m)x}{n+m}}+{\frac {\sin(n+m)x}{n+m}})\right|_{-\pi }^{\pi }=0$

$n\not =m:(sinnx,sinmx)={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x]dx={\frac {1}{2}}\left.({\frac {\sin(n-m)x}{n-m}}-{\frac {\sin(n+m)x}{n+m}})\right|_{-\pi }^{\pi }=0$

$(sinnx,cosmx)={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }[\sin(n+m)x+\sin(n-m)x]dx=-{\frac {1}{2}}\left.({\frac {\cos(n-m)x}{n-m}}+{\frac {\cos(n+m)x}{n+m}})\right|_{-\pi }^{\pi }=0$

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции $f$ находятся по формулам

$(1,1)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }dx=2\pi$

$(\cos kx,\cos kx)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}kxdx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1+\cos 2kx}{2}}dx={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }dx+{\frac {1}{2}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos 2kxdx=\pi$

$(\sin kx,\sin kx)=\pi$

$c_{0}={\frac {(f,1)}{(1,1)}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\frac {a_{0}}{2}}$ (обозначение) $(2)$

$c_{2k-1}={\frac {(f,\cos kx)}{(\cos kx,\cos kx)}}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kxdx=a_{k},k=1,2,\dots (3)$

$c_{2k}={\frac {(f,\sin kx)}{(\sin kx,\sin kx)}}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin kxdx=b_{k},k=1,2,\dots (4)$

Формальный ряд ${\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }(a_{k}coskx+b_{k}sinkx)(5)$, где коэффициенты $a_{0},a_{k},b_{k}$ вычисляются по формулам $(2),(3),(4)$ называется тригонометрическим рядом Фурье функции $f$. Формулы $(2),(3),(4)$ называются формулами Эйлера-Фурье.

Вопросы: при каких условиях на функцию $f$ ряд $(5)$ сходится? сходится к функции $f$?

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на $[a,b]$, если отрезок $[a,b]$ можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

Обозначим: $f(x_{0}-0)=\lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x)$ и $f(x_{0}+0)=\lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x)$

Теорема Дирихле.  (без доказательства)

Пусть $f(x)$ - $2\pi$ периодическая функция, кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная на $[-\pi ;\pi ]$. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)$ схоидится на $[-\pi ;\pi ]$, причем для его суммы $S(x)$ справедливы равенства:

1. $S(x)=f(x)$, если $x\in (-\pi ;\pi )$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x$
2. $S(x)={\frac {1}{2}}(f(x+0)+f(x-0))$ если $x\in (-\pi ;\pi )$ и $x$ - точка разыва $f(x)$
3. $S(-\pi )=S(\pi )={\frac {1}{2}}(f(-\pi +0)+f(\pi -0))$

Пусть $L$ - бесконечномерное Евклидово пространство (например непрерывных на $[a,b]$ функций) $\Rightarrow (f,g)=\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx$ - скалярное произведение.

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на $[a,b]$ функцией, если она непрерывна на $[a,b]$ за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода.

Определение. Система функций $\{\phi _{n}\}$ - ортонормированная система функций из $L$. Пусть $f\in L$. Тогда числа $c_{1}=(\phi _{n},f),n=1,2,\dots$ называются коэффициентами Фурье элемента $f$ по ортонормированной системе $\{\phi _{n}\}$ . Формальный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}$ называется обобщенным рядом фурье элемента $f$ по ортонормированной системе $\{\phi _{n}\}$ (где $c_{n},n=1,2,\dots$ - коэффициенты Фурье элемента $f$ по ортонормированной системе $\{\phi _{n}\}$ )

Теорема о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.  (без доказательства)

Пусть функция $f(x)$ - непрерывна на $[-\pi ;\pi ]$ и имеет на этом отрезке кусочно-непрерывную производную и $f(-\pi )=f(\pi )$. Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно на $[-\pi ;\pi ]$.

Частные случаи:

1. Пусть $f(x)$ - нечетная функция $\Rightarrow \{f(x)\cos kx\}$ - нечетная функция. $\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx=0\Rightarrow a_{0}=0,\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kxdx=0\Rightarrow a_{k}=0$. Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид $\sum \limits _{k=1}^{\infty }b_{k}\sin kx$
2. Пусть $f(x)$ - четная функция $\Rightarrow \{f(x)\sin kx\}$ - нечетная функция. $\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin kxdx=0\Rightarrow b_{k}=0$. Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид ${\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos kx$