Функциональные последовательности и ряды

Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $f_{n}(x)$, определенная на множестве $X(X\subset R)$, то говорят, что на множестве $X$ задана функциональная последовательность $\{f_{n}(x)\}$. Множество $X$ называется областью определения последовательности $\{f_{n}(x)\}$.

Определение. $\{f_{n}(x)\}$ сходится в точке $x_{0}$, если числовая последовательность $\{f_{n}(x_{0})\}$ сходится. Множество всех точек $x_{0}$, в которых $\{f_{n}(x)\}$ сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности $\{f_{n}(x)\}$.

$D$ - область сходимости $\{f_{n}(x)\}$. Пусть $D:\forall x\in D\exists \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве $D$. Эта функция $f(x)$ называется предельной функцией последовательности $\{f_{n}(x)\}$.

Замечание. Точечная сходимость $\{f_{n}(x)\}$ на некотором множестве $D$ не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность $\{U_{n}(x)\}$ определенная на множестве $X$.

Формальное выражение вида $U_{1}(x)+U_{2}(x)+\dots +U_{n}(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ называется функциональным рядом.

Множество $X$ - область определения ряда. Сумма $n$ первых членов ряда $S_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}U_{k}(x)$ называется $n$-ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что $\{S_{n}(x)\}$ является функциональной последовательностью, определенной на $X$.

Пусть точка $x_{0}\in X$

Определение. Функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится в точке $x_{0}$, если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x_{0})$ сходится. Множество $D$ точек $x_{0}$, где $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится на множестве $D$, если последовательность $\{S_{n}\}$ его частичных сумм сходится на $D$.

Если функциональный ряд сходится на множестве $D$, то его сумма есть функция $S(x)$, определенная на $D$. Очевидно, $S(x)$ есть предел функциональной последовательности $\{S_{n}(x)\}$.

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве $D$ не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

Абсолютная сходимость

Определение. Функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится абсолютно на множестве $D_{1}$, если функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|U_{n}(x)|$ сходится на множестве $D_{1}$ ($D_{1}$ может быть одной точкой)

Утверждение. Если $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится абсолютно на множестве $D_{1}$, то он сходится на нём и в обычном смысле

Доказательство. Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится абсолютно на множестве $D_{1}$, $\Rightarrow$ ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|U_{n}(x)|$ сходится на $D_{1}$, $\Rightarrow$ $\forall x_{0}\in D_{1}$ числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|U_{n}(x_{0})|$ сходится $\Rightarrow$ числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x_{0})$ сходится абсолютно $\Rightarrow$ числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x_{0})$ сходится и в обычном смысле. Так как $x_{0}\in D_{1}$ - произвольная точка из $D_{1}$ $\Rightarrow$ функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится в обычном смысле на множестве $D_{1}$.

Из утверждения следует, что $D_{1}\subset D$, то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

Равномерная сходимость

Определение. Последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится равномерно к функции $f(x)$ на множестве $E\subset X$, если $\forall \varepsilon >0\ \exists N\ \forall n>N\ \forall x\in E:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$. ($E$ не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости $\{f_{n}(x)\}$ на множестве $E$ следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на $E$. Обратное неверно.

Определение. Последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится равномерно на $E$, если существует $f(x)$ такая, что $\{f_{n}(x)\}$ сходится равномерно к $f(x)$ на $E$. Обозначается $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ на $E$.

Геометрический смысл равномерной сходимости

$|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \forall n>N\forall x\in E$, то есть графики всех функций с номером $n>N$ на множестве $E$ лежат в "$\varepsilon$-полоске" графика функции $f(x)$.

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема. $\{f_{n}(x)\}$ сходится равномерно на $E$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$.

Доказательство. ($\Rightarrow$) $\{f_{n}(x)\}$ сходится равномерно на $E$ $\Rightarrow \exists$ функция $f(x)$ определенная на $E$ такая что $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ на $E$.

Фиксируется $\forall \varepsilon >0$. $\Rightarrow$ для ${\frac {\varepsilon }{2}}>0\exists N:\forall n>N,\forall x\in E:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}\Rightarrow \forall p>0\forall n>N:(n+p)>N\Rightarrow \forall x\in E:|f_{n+p}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

$|f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|\leq |f_{n}(x)-f(x)|+|f_{n+p}-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \forall x\in E,\forall n>N,\forall p>0$.

($\Leftarrow$) Имеем: $\forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$.

Критерий Коши выполнени $\forall x\in E$ (фиксированного). $\Rightarrow \forall$ фиксированного $x\in E$ числовая последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится в фиксированному числу. $\Rightarrow$ функциональная последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится к некоторой функции $f(x)$ на $E$. Докажем $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ на $E$.

Имеем по условию: $\forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. $(*)$ Для любого фиксированного $n>N$ переходим в неравенстве $(*)$ к $\lim \limits _{p\to \infty }:|f(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon \forall x\in E,\forall n>N$. $\Rightarrow$ функциональная последовательность $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ на $E$.

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Определение. Функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на $E$ если, $\{S_{n}(x)\}$ сходится равномерно на $E$.

Обозначим через $r_{n}(x)=S(x)-S_{n}(x)$ где $S(x)$ - сумма ряда. Тогда величина $r_{n}(x)$ называется остатком ряда.

Функциональный ряд сходится равномерно на $E$ к функции $S(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N\forall x\in E:|S(x)-S_{n}(x)|<\varepsilon \Leftrightarrow |r_{n}(x)|<\varepsilon$. Получаем эквивалентное определение равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на $E$, если последовательность $r_{n}\rightrightarrows 0$ на $E$.

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда).  Если функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$ $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|U_{n+1}(x)+\dots +U_{n+p}(x)|<\varepsilon$

Доказательство. Функциональный ряд сходится равномерно на $E$ $\Leftrightarrow$ $\{S_{n}(x)\}$ сходится равномерно на $E$ $\Rightarrow$ по критиерю Коши для функциональной последовательности: $\forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|S_{n+p}(x)-S_{n}(x)|<\varepsilon$. $S_{n+p}(x)-S_{n}(x)=U_{n+1}(x)+\dots +U_{n+p}(x)\Rightarrow \forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|U_{n+1}(x)+\dots +U_{n+p}(x)|<\varepsilon$.

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема. Если функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$, тогда функциональная последовательность $\{U_{n}(x)\}\rightrightarrows 0$ на $E$.

Доказательство. Функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$, слодовательно по критерию Коши $\forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N,\forall p>0\forall x\in E:|U_{n+1}(x)+\dots +U_{n+p}(x)|<\varepsilon$. В частности, при $p=1$ имеем $|U_{n+1}|<\varepsilon \forall x\in E,\forall n>N$. Следовательно, $\{U_{n}(x)\}$ сходится равномерно к нулю на $E$

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).  Пусть дан функциональный ряд на множестве $E$. Пусть существует сходящийся числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ такой, что $\forall x\in E:|U_{n}(x)|<a_{n},n=1,2,\dots$. Тогда функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$. В этом случае числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ называется мажорирующим рядом для функционального ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$.

Доказательство.

1) Докажем, что функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится абсолютно на множестве $E$.

Имеем: $\forall$ $x\in E:|U_{n}(x)|<a_{n},n=1,2,\dots \Rightarrow \forall$ $x\in E$ числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|U_{n}(x)|$ сходится по признаку сравнения так как ряд из $a_{n}$ сходится $\Rightarrow \sum \limits _{n=1}^{\infty }|U_{n}(x)|$ сходится на $E\Rightarrow \sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится абсолютно на $E$. Кроме того ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится к некоторой функции $S(x)$ на множестве $E$.

2) Докажем, что функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно к $S(x)$ на множестве $E$. Обозначим: $\sum \limits _{k=1}^{n}U_{k}(x)=S_{n}(x),\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}=\sigma _{n},\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sigma$. $\forall x\in E$ рассмотрим $|S(x)-S_{n}(x)|=|U_{n+1}(x)+U_{n+2}(x)+\dots |\leq |U_{n+1}(x)|+|U_{n+2}(x)|+\dots \leq a_{n+1}+a_{n+2}+\dots =\sigma -\sigma _{n}$

Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится $\Rightarrow \exists \lim \limits _{n\to \infty }\sigma _{n}=\sigma \Rightarrow \forall \varepsilon >0\exists N:\forall n>N|\sigma -\sigma _{n}|<\varepsilon \Rightarrow \forall x\in E|S(x)-S_{n}(x)|<\varepsilon \forall n>N\Rightarrow \sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на $E$.

Непрерывность суммы функционального ряда

Теорема. Пуcть функциональная последовательность $\{f_{n}(x)\}$ определена в окрестности $O(x_{0})$, и выполнены свойства

1) все члены последовательности непрерывны в точке $x_{0}$

2) функциональная последовательность сходится равномерно в окрестности $O(x_{0})$ к функции $f(x)$

Тогда функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$

Доказательство. $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ в $O(x_{0})$. Фиксируем $\forall \varepsilon >0\Rightarrow$ для ${\frac {\varepsilon }{3}}\exists N:\forall n>N,\forall x\in O(x_{0}):|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}\Rightarrow |f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<{\frac {\varepsilon }{3}}$ (в частности). $\forall \Delta x:x+\Delta x\in O(x_{0}):|f_{n}(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}+\Delta x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. Фиксируем номер $n>N$, соответствующая ему $f_{n}(x)$ непрерывна в точке $x_{0}\Rightarrow$ для ${\frac {\varepsilon }{3}}\exists \sigma >0:|\Delta x|<\sigma :|f_{n}(x_{0}+\Delta x)-f_{n}(x_{0})|<{\frac {\varepsilon }{3}}$

Рассмотрим $|f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})|\leq |f(x_{0}+\Delta x)-f_{n}(x_{0}+\Delta x)|+|f_{n}(x_{0}+\Delta x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon$ (где $n$ - фиксировано выше), если $|\Delta x|<\sigma \Rightarrow f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Теорема. Пусть функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно в $O(x_{0})\Rightarrow$ последовательность частичных сумм $S_{n}(x)\rightrightarrows S(x)$ в $O(x_{0})$.

Доказательство. Так как все функции $U_{n}(x)$ непрерывны в точке $x_{0}\Rightarrow$ все частичные суммы $S_{n}(x)$ непрерывны в $x_{0}\Rightarrow S(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что справедливо утверждение

Утверждение. Пусть функциональная последоваетльность $\{f_{n}(x)\}$ сходится равномерно к $f(x)$ на промежутке $<a,b>$ и все члены последовательности $\{f_{n}(x)\}$ непрерывны на $<a,b>$ , тогда $f(x)$ непрерывна на $<a,b>$ .

Замечание. Если функциональный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}(x)$ сходится равномерно на $<a,b>$ и все функции $\{U_{n}(x)\}$ непрерывны на $<a,b>$ , то суммы ряда $S_{n}(x)$ непрерывны на $<a,b>$ .