Из определения сходимости последовательности
к точке a вытекает, что для любого
интервалом длиной 2
можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке
. Справедливо и обратное : если последовательность
такова, что для любого
можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится.
Определение. Последовательность
называется последовательностью Коши или фундаментальной, если
Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность
сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость. Пусть
сходится.
Достаточность. Пусть
- фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и
.
Так как последовательность фундаментальна, то
, в
-окрестности которой существуют все элементы после
.
Предположим,
.
В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е.
- ограничена.
Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса (
) < (
).
в силу произвольности